Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный повышающий преобразователь преобразует 24 V в 40 V при 20 kHz и L = 220 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔIL.
Vin = 24 VVo = 40 Vf = 20 kHzL = 220 µH
ΔIL = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Понижающий преобразователь преобразует 24 V в 18 V при 50 kHz и L = 10 µH. Найдите наименьший ток нагрузки Io,min, при котором он остаётся в режиме непрерывного тока.
Vin = 24 VVo = 18 Vf = 50 kHzL = 10 µH
Io,min = A
3.Двигатели постоянного токаСредняя
Двигатель постоянного тока потребляет 20 A от источника 240 V. Сопротивление якоря равно 1,2 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 130 W. Найдите его КПД η.
V = 240 VIa = 20 ARa = 1,2 ΩProt = 130 W
η = %
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока с k = 0,6 V·s/rad и Ra = 1,5 Ω должен приводить нагрузку 3,6 N·m со скоростью 1200 rpm. Найдите необходимое напряжение якоря V.
k = 0,6 V·s/radRa = 1,5 ΩT = 3,6 N·mn = 1200 rpm
V = V
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Нагрузка с полным сопротивлением Z = 24 + j7 Ω подключена к однофазной сети 120 V (действующее значение). Найдите потребляемую ею реактивную мощность Q.
V = 120 VZ = 24 + j7 Ω
Q = var
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 9 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 400 V, 50 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 33 µF. Найдите новый ток линии I.
P = 9 kWpf1 = 0,8V = 400 Vf = 50 HzC = 33 µF
I = A
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 20 A от сети с линейным напряжением 208 V. Коэффициент мощности 0,9 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 208 VIL = 20 Acos φ = 0,9
P = kW
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 120 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 120 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔIL = 2,182 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 1 − 24/40 = 0,4
Напряжение на катушке во время включения
Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением Vin.
VL = 24 V
Пульсации тока
ΔIL = VL·D/(L·f) = 24·0,4/(220·10⁻⁶·20·10³) = 2,182 A
Ответ
ΔIL = 2,182 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: Io,min = 4,5 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 18/24 = 0,75
Пульсации тока
ΔIL = 18·0,25/(10·10⁻⁶·50·10³) = 9 A
Граничный ток нагрузки
Io,min = ΔIL/2 = 4,5 A
Ответ
Io,min = 4,5 A
Ниже этого тока преобразователь переходит в режим прерывистого тока, и Vo поднимается выше D·Vin.
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: η = 87,29 %
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Мощности
Pin = 240·20 = 4800 W
Pdev = 216·20 = 4320 W
Pout = 4320 − 130 = 4190 W
КПД
η = 4190/4800·100 = 87,29 %
Ответ
η = 87,29 %
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: V = 84,4 V
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Противо-ЭДС
E = 0,6·125,7 = 75,4 V
Ток якоря
Ia = 3,6/0,6 = 6 A
Напряжение якоря
V = 75,4 + 6·1,5 = 84,4 V
Ответ
V = 84,4 V
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 161,3 var
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток
|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 120/25 = 4,8 A
Реактивная мощность
Q = I²·X = 4,8²·7 = 161,3 var
Ответ
Q = 161,3 var
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: I = 25,85 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = 9·tan(arccos 0,8) = 6,75 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·33·10⁻⁶ = 1659 var = 1,659 kvar
Q2 = 6,75 − 1,659 = 5,091 kvar
Новая полная мощность
S2 = √(9² + 5,091²) = 10,34 kVA
Новый ток линии
I = S2/V = 10340/400 = 25,85 A
Ответ
I = 25,85 A
7.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 6,485 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·208·20 = 7,205 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 7,205·0,9 = 6,485 kW
Ответ
P = 6,485 kW
8.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 376,9 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0,78) = 120·0,8023 = 96,27 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,95) = 120·0,3287 = 39,44 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 56,83 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.