Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный повышающий преобразователь преобразует 9 V в 36 V при нагрузке 4 Ω. Найдите средний ток катушки IL.
Vin = 9 VVo = 36 VR = 4 Ω
IL = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Идеальный повышающий преобразователь преобразует 36 V в 120 V при нагрузке 25 Ω и частоте 100 kHz. Найдите наименьшую индуктивность Lcrit для режима непрерывного тока.
Vin = 36 VVo = 120 Vf = 100 kHzR = 25 Ω
Lcrit = µH
3.Двигатели постоянного токаСредняя
Двигатель постоянного тока (k = 1,2 N·m/A, Ra = 0,5 Ω) работает от 120 V и приводит нагрузку с моментом 14,4 N·m. Найдите его скорость n в rpm.
V = 120 Vk = 1,2 N·m/ARa = 0,5 ΩT = 14,4 N·m
n = rpm
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока (k = 1,2 V·s/rad, Ra = 0,5 Ω) при фиксированном питании 220 V приводит нагрузку 18 N·m. Найдите последовательное сопротивление Rs, замедляющее его до 300 rpm.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 21 kW при коэффициенте мощности 0,9 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 21 kWpf = 0,9V = 400 V
Q = kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 15 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 240 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,92. Найдите новый ток линии Inew.
P = 15 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,92V = 240 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 24 + j18 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 208 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 208 VZ = 24 + j18 Ω на фазу
P = kW
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 75 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: IL = 36 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 1 − 9/36 = 0,75
Ток нагрузки
Io = 36/4 = 9 A
Ток катушки
IL = Io/(1 − D) = 9/0,25 = 36 A
Ответ
IL = 36 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: Lcrit = 7,875 µH
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 1 − 36/120 = 0,7
Граничное условие
Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.
Lcrit = D(1 − D)²·R/(2f)
Критическая индуктивность
Lcrit = 0,7(1 − 0,7)²·25/(2100·10³) = 7,875 µH
Ответ
Lcrit = 7,875 µH
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: n = 907,2 rpm
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Ток якоря
Ia = T/k = 14,4/1,2 = 12 A
Противо-ЭДС и скорость
E = 120 − 12·0,5 = 114 V
ω = E/k = 95 rad/s → n = 907,2 rpm
Ответ
n = 907,2 rpm
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: Rs = 11,65 Ω
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Ток и противо-ЭДС
Ia = 18/1,2 = 15 A
E = 1,2·31,42 = 37,7 V
Последовательное сопротивление
Ra + Rs = (220 − 37,7)/15 = 12,15 Ω
Rs = 11,65 Ω
Ответ
Rs = 11,65 Ω
Резистор рассеивает 2622 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 10,17 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,9) = 25,84°, tan φ = 0,4843
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 21·0,4843 = 10,17 kvar
Ответ
Q = 10,17 kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Inew = 67,93 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 15·tan(36,87°) = 11,25 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 15·tan(23,07°) = 6,39 kvar
QC = Q1 − Q2 = 4,86 kvar
Новый ток линии
Inew = P/(V·cos φ2) = 15000/(240·0,92) = 67,93 A
Ответ
Inew = 67,93 A
7.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 1,154 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = 208/√3 = 120,1 V
Фазный ток
|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω
Iph = 120,1/30 = 4,003 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·4,003²·24 = 1,154 kW
Ответ
P = 1,154 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,8, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
8.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 228,6 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0,75) = 75·0,8819 = 66,14 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,92) = 75·0,426 = 31,95 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 34,19 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.