Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный повышающий преобразователь преобразует 24 V в 96 V при нагрузке 4 Ω. Найдите средний ток катушки IL.
Vin = 24 VVo = 96 VR = 4 Ω
IL = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Идеальный повышающий преобразователь преобразует 12 V в 20 V при нагрузке 12 Ω и частоте 100 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 10 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔVo в mV.
Vin = 12 VVo = 20 Vf = 100 kHzC = 10 µFR = 12 Ω
ΔVo = mV
3.Двигатели постоянного токаСредняя
Двигатель постоянного тока потребляет 50 A от источника 240 V. Сопротивление якоря равно 0,4 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 440 W. Найдите его КПД η.
V = 240 VIa = 50 ARa = 0,4 ΩProt = 440 W
η = %
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока независимого возбуждения на 120 V (Ra = 1 Ω) вращается со скоростью 1000 rpm при токе якоря 6 A. Нагрузка изменяется, и ток становится равным 9 A при неизменном поле. Найдите новую скорость n2.
V = 120 VRa = 1 Ωn1 = 1000 rpmIa1 = 6 AIa2 = 9 A
n2 = rpm
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 9 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 9 kWpf = 0,8V = 230 V
Q = kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 45 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 400 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите необходимую ёмкость C.
P = 45 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9V = 400 Vf = 50 Hz
C = µF
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 9 + j12 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 480 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 480 VZ = 9 + j12 Ω на фазу
P = kW
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 75 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: IL = 96 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 1 − 24/96 = 0,75
Ток нагрузки
Io = 96/4 = 24 A
Ток катушки
IL = Io/(1 − D) = 24/0,25 = 96 A
Ответ
IL = 96 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔVo = 666,7 mV
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 1 − 12/20 = 0,4
Ток нагрузки
Io = 20/12 = 1,667 A
Пульсации выходного напряжения
ΔVo = 1,667·0,4/(100·10³·10·10⁻⁶) = 666,7 mV
Ответ
ΔVo = 666,7 mV
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: η = 88 %
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Мощности
Pin = 240·50 = 12000 W
Pdev = 220·50 = 11000 W
Pout = 11000 − 440 = 10560 W
КПД
η = 10560/12000·100 = 88 %
Ответ
η = 88 %
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: n2 = 973,7 rpm
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Противо-ЭДС до и после
E1 = 120 − 6·1 = 114 V
E2 = 120 − 9·1 = 111 V
Новая скорость
n2 = 1000·111/114 = 973,7 rpm
Ответ
n2 = 973,7 rpm
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 6,75 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 9·0,75 = 6,75 kvar
Ответ
Q = 6,75 kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: C = 613,1 µF
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(49,46°) = 52,61 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(25,84°) = 21,79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 30,82 kvar
Ёмкость
Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 30816/(2π·50·400²) = 613,1 µF
Ответ
C = 613,1 µF
7.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 27,65 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = VL = 480 V
Фазный ток
|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
Iph = 480/15 = 32 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·32²·9 = 27,65 kW
Ответ
P = 27,65 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,6, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
8.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 1055 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0,72) = 75·0,9639 = 72,29 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,98) = 75·0,2031 = 15,23 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 57,06 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.