Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный понижающий преобразователь преобразует 15 V в 4,5 V при 200 kHz и L = 68 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔIL.
Vin = 15 VVo = 4,5 Vf = 200 kHzL = 68 µH
ΔIL = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Понижающий преобразователь преобразует 24 V в 18 V при 250 kHz и L = 10 µH. Найдите выходную ёмкость C, при которой размах пульсаций выходного напряжения ограничен 5 mV.
Двигатель постоянного тока отдаёт механическую мощность 15 kW при 750 rpm. Найдите момент на валу T.
P = 15 kWn = 750 rpm
T = N·m
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока с k = 1 V·s/rad и Ra = 2 Ω должен приводить нагрузку 4 N·m со скоростью 500 rpm. Найдите необходимое напряжение якоря V.
k = 1 V·s/radRa = 2 ΩT = 4 N·mn = 500 rpm
V = V
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 2 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) и нагрузка 5 kW при коэффициенте мощности 0,95 (индуктивном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазный трансформатор 100 kVA питает нагрузку 29 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?
Smax = 100 kVAP1 = 29 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 37 kW. При этой нагрузке его КПД равен 93%, а коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Линейное напряжение сети 415 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 37 kWη = 93%cos φ = 0,82VL = 415 V
IL = A
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 75 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔIL = 0,2316 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 4,5/15 = 0,3
Напряжение на катушке во время включения
Пока S включён, катушка индуктивности находится между Vin и Vo.
VL = 15 − 4,5 = 10,5 V
Пульсации тока
ΔIL = VL·D/(L·f) = 10,5·0,3/(68·10⁻⁶·200·10³) = 0,2316 A
Ответ
ΔIL = 0,2316 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: C = 180 µF
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 18/24 = 0,75
Пульсации тока катушки
ΔIL = (24 − 18)·0,75/(10·10⁻⁶·250·10³) = 1,8 A
Ёмкость
C = 1,8/(8·250·10³·5·10⁻³) = 180 µF
Ответ
C = 180 µF
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: T = 191 N·m
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Скорость в rad/s
ω = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
Крутящий момент
T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m
Ответ
T = 191 N·m
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: V = 60,36 V
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Противо-ЭДС
E = 1·52,36 = 52,36 V
Ток якоря
Ia = 4/1 = 4 A
Напряжение якоря
V = 52,36 + 4·2 = 60,36 V
Ответ
V = 60,36 V
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: cos φ = 0,9247
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность каждой нагрузки
Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).
Q1 = 2·tan(arccos 0,85) = 1,239 kvar
Q2 = 5·tan(arccos 0,95) = 1,643 kvar
Суммы
P = 2 + 5 = 7 kW
Q = 1,239 + 1,643 = 2,883 kvar
S = √(7² + 2,883²) = 7,57 kVA
Общий коэффициент мощности
cos φ = P/S = 7/7,57 = 0,9247 отстающий
Ответ
cos φ = 0,9247
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: ΔP = 68,61 kW
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность существующей нагрузки
Q1 = 29·tan(arccos 0,8) = 21,75 kvar
Наибольшая суммарная активная мощность
При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.
P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 21,75²) = 97,61 kW
Дополнительная активная мощность
ΔP = 97,61 − 29 = 68,61 kW
Ответ
ΔP = 68,61 kW
7.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 67,5 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 37/0,93 = 39,78 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 39785/(√3·415·0,82) = 67,5 A
Ответ
IL = 67,5 A
8.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 74,92 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0,72) = 75·0,9639 = 72,29 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,92) = 75·0,426 = 31,95 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 40,34 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.