Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный понижающий преобразователь преобразует 9 V в 3,6 V при 20 kHz и L = 220 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔIL.
Vin = 9 VVo = 3,6 Vf = 20 kHzL = 220 µH
ΔIL = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Понижающий преобразователь преобразует 9 V в 4,5 V при нагрузке 20 Ω и частоте 40 kHz, при L = 330 µH и C = 47 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔVo в mV.
Двигатель постоянного тока отдаёт механическую мощность 1 kW при 1500 rpm. Найдите момент на валу T.
P = 1 kWn = 1500 rpm
T = N·m
4.Двигатели постоянного токаСложная
Небольшой двигатель постоянного тока имеет сопротивление якоря 1,2 Ω и работает от 110 V. Пренебрегая потерями на вращение, найдите наибольшую механическую мощность Pmax, которую он может развить на любой скорости.
V = 110 VRa = 1,2 Ω
Pmax = W
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
К однофазной сети 400 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 23 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) и нагрузка 27 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном). Найдите общий ток I, потребляемый от сети.
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Источник 50 V (действующее значение), 50 Hz имеет внутреннее сопротивление Zs = 20 + j20 Ω. Полное сопротивление нагрузки ZL можно выбирать произвольно. Нагрузка для максимальной мощности составлена из резистора, соединённого последовательно с конденсатором. Найдите ёмкость C.
Vs = 50 V (rms)f = 50 HzZs = 20 + j20 Ω
C = µF
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 100 A от сети с линейным напряжением 480 V. Коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 480 VIL = 100 Acos φ = 0,82
P = kW
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 100 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,95VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔIL = 0,4909 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 3,6/9 = 0,4
Напряжение на катушке во время включения
Пока S включён, катушка индуктивности находится между Vin и Vo.
VL = 9 − 3,6 = 5,4 V
Пульсации тока
ΔIL = VL·D/(L·f) = 5,4·0,4/(220·10⁻⁶·20·10³) = 0,4909 A
Ответ
ΔIL = 0,4909 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔVo = 11,33 mV
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 4,5/9 = 0,5
Пульсации тока катушки
ΔIL = (9 − 4,5)·0,5/(330·10⁻⁶·40·10³) = 0,1705 A
Пульсации выходного напряжения
ΔVo = 0,1705/(8·40·10³·47·10⁻⁶) = 11,33 mV
Ответ
ΔVo = 11,33 mV
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: T = 6,366 N·m
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Скорость в rad/s
ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
Крутящий момент
T = P/ω = 1000/157,1 = 6,366 N·m
Ответ
T = 6,366 N·m
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: Pmax = 2521 W
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Мощность как функция противо-ЭДС
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 55 V
Наибольшая мощность
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 110²/(4·1,2) = 2521 W
Ответ
Pmax = 2521 W
В этой точке КПД составляет всего 50 %, поэтому реальные двигатели работают заметно выше половины скорости.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: I = 191,8 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность каждой нагрузки
Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).
Q1 = 23·tan(arccos 0,6) = 30,67 kvar
Q2 = 27·tan(arccos 0,7) = 27,55 kvar
Суммы
P = 23 + 27 = 50 kW
Q = 30,67 + 27,55 = 58,21 kvar
S = √(50² + 58,21²) = 76,74 kVA
Общий ток
I = S/V = 76738/400 = 191,8 A
Ответ
I = 191,8 A
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: C = 159,2 µF
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопряжённое согласование
Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.
ZL = Zs* = 20 − j20 Ω
Ёмкость
XC = 20 Ω → C = 1/(2π·50·20) = 159,2 µF
Ответ
C = 159,2 µF
7.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 68,17 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·480·100 = 83,14 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 83,14·0,82 = 68,17 kW
Ответ
P = 68,17 kW
8.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 955,4 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,7) = 100·1,02 = 102 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,95) = 100·0,3287 = 32,87 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 69,15 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.