Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный понижающий преобразователь преобразует 12 V в 4,8 V при частоте переключения 40 kHz. Найдите индуктивность L, при которой размах пульсаций тока катушки составляет 0,4 A.
Vin = 12 VVo = 4,8 Vf = 40 kHzΔIL = 0,4 A
L = µH
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Идеальный понижающе-повышающий преобразователь преобразует 15 V в −35 V при нагрузке 12 Ω и частоте 250 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 470 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔVo в mV.
Двигатель постоянного тока потребляет 15 A от источника 240 V. Сопротивление якоря равно 0,5 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 209 W. Найдите его КПД η.
V = 240 VIa = 15 ARa = 0,5 ΩProt = 209 W
η = %
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока на 120 V имеет сопротивление якоря 0,25 Ω. Найдите последовательное пусковое сопротивление Rst, ограничивающее пусковой ток до 10 A.
V = 120 VRa = 0,25 ΩImax = 10 A
Rst = Ω
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Нагрузка с полным сопротивлением Z = 12 + j5 Ω подключена к однофазной сети 120 V (действующее значение). Найдите полную мощность S.
V = 120 VZ = 12 + j5 Ω
S = VA
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Источник 12 V (действующее значение), 1000 Hz имеет внутреннее сопротивление Zs = 2 + j5 Ω. Полное сопротивление нагрузки ZL можно выбирать произвольно. Найдите наибольшую активную мощность Pmax, которую можно передать нагрузке.
Vs = 12 V (rms)f = 1000 HzZs = 2 + j5 Ω
Pmax = W
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 55 kW. При этой нагрузке его КПД равен 94%, а коэффициент мощности 0,8 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 55 kWη = 94%cos φ = 0,8VL = 400 V
IL = A
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 100 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: L = 180 µH
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 4,8/12 = 0,4
Индуктивность
L = 7,2·0,4/(0,4·40·10³) = 180 µH
Ответ
L = 180 µH
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔVo = 17,38 mV
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 35/(15 + 35) = 0,7
Ток нагрузки
Io = 35/12 = 2,917 A
Пульсации выходного напряжения
ΔVo = 2,917·0,7/(250·10³·470·10⁻⁶) = 17,38 mV
Ответ
ΔVo = 17,38 mV
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: η = 91,07 %
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Мощности
Pin = 240·15 = 3600 W
Pdev = 232,5·15 = 3488 W
Pout = 3488 − 209 = 3279 W
КПД
η = 3279/3600·100 = 91,07 %
Ответ
η = 91,07 %
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: Rst = 11,75 Ω
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Полное сопротивление
Ra + Rst = 120/10 = 12 Ω
Пусковой резистор
Rst = 12 − 0,25 = 11,75 Ω
Ответ
Rst = 11,75 Ω
Резистор выводят ступенями по мере разгона двигателя и роста противо-ЭДС.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: S = 1108 VA
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток
|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
I = V/|Z| = 120/13 = 9,231 A
Полная мощность
S = V·I = 120·9,231 = 1108 VA
Ответ
S = 1108 VA
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Pmax = 18 W
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопряжённое согласование
Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.
ZL = Zs* = 2 − j5 Ω
Наибольшая мощность
I = Vs/(2Rs) = 12/4 = 3 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 12²/(4·2) = 18 W
Ответ
Pmax = 18 W
7.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 105,6 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 55/0,94 = 58,51 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 58511/(√3·400·0,8) = 105,6 A
Ответ
IL = 105,6 A
8.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 305,1 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,7) = 100·1,02 = 102 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,92) = 100·0,426 = 42,6 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 59,42 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.