Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный повышающий преобразователь преобразует 48 V в 96 V при нагрузке 12 Ω. Найдите средний ток катушки IL.
Vin = 48 VVo = 96 VR = 12 Ω
IL = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Идеальный понижающий преобразователь преобразует 36 V в 25,2 V при нагрузке 10 Ω и частоте 100 kHz. Найдите наименьшую индуктивность Lcrit для режима непрерывного тока.
Vin = 36 VVo = 25,2 Vf = 100 kHzR = 10 Ω
Lcrit = µH
3.Двигатели постоянного токаСредняя
Двигатель постоянного тока отдаёт механическую мощность 15 kW при 1200 rpm. Найдите момент на валу T.
P = 15 kWn = 1200 rpm
T = N·m
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока независимого возбуждения на 240 V (Ra = 0,4 Ω) вращается со скоростью 1000 rpm при токе якоря 25 A. Нагрузка изменяется, и ток становится равным 10 A при неизменном поле. Найдите новую скорость n2.
V = 240 VRa = 0,4 Ωn1 = 1000 rpmIa1 = 25 AIa2 = 10 A
n2 = rpm
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Индуктивная нагрузка потребляет 19 A и 1368 W от однофазной сети 120 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите X.
V = 120 VI = 19 AP = 1368 W
X = Ω
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазный трансформатор 100 kVA питает нагрузку 35 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?
Smax = 100 kVAP1 = 35 kWpf1 = 0,65
ΔP = kW
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 75 kW. При этой нагрузке его КПД равен 88%, а коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Линейное напряжение сети 480 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 75 kWη = 88%cos φ = 0,82VL = 480 V
IL = A
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 250 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 250 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: IL = 16 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 1 − 48/96 = 0,5
Ток нагрузки
Io = 96/12 = 8 A
Ток катушки
IL = Io/(1 − D) = 8/0,5 = 16 A
Ответ
IL = 16 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: Lcrit = 15 µH
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 25,2/36 = 0,7
Граничное условие
Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.
Lcrit = (1 − D)·R/(2f)
Критическая индуктивность
Lcrit = (1 − 0,7)·10/(2100·10³) = 15 µH
Ответ
Lcrit = 15 µH
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: T = 119,4 N·m
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Скорость в rad/s
ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s
Крутящий момент
T = P/ω = 15000/125,7 = 119,4 N·m
Ответ
T = 119,4 N·m
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: n2 = 1026 rpm
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Противо-ЭДС до и после
E1 = 240 − 25·0,4 = 230 V
E2 = 240 − 10·0,4 = 236 V
Новая скорость
n2 = 1000·236/230 = 1026 rpm
Ответ
n2 = 1026 rpm
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: X = 5,053 Ω
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопротивление по активной мощности
R = P/I² = 1368/19² = 3,789 Ω
Реактивное сопротивление по полному
|Z| = V/I = 120/19 = 6,316 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(6,316² − 3,789²) = 5,053 Ω
Ответ
X = 5,053 Ω
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: ΔP = 56,24 kW
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность существующей нагрузки
Q1 = 35·tan(arccos 0,65) = 40,92 kvar
Наибольшая суммарная активная мощность
При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.
P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 40,92²) = 91,24 kW
Дополнительная активная мощность
ΔP = 91,24 − 35 = 56,24 kW
Ответ
ΔP = 56,24 kW
7.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 125 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 75/0,88 = 85,23 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 85227/(√3·480·0,82) = 125 A
Ответ
IL = 125 A
8.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 177,2 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 250·tan(acos 0,78) = 250·0,8023 = 200,6 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,9) = 250·0,4843 = 121,1 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 79,49 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.