Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный понижающий преобразователь преобразует 24 V в 7,2 V при частоте переключения 200 kHz. Найдите индуктивность L, при которой размах пульсаций тока катушки составляет 0,8 A.
Vin = 24 VVo = 7,2 Vf = 200 kHzΔIL = 0,8 A
L = µH
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Понижающий преобразователь преобразует 9 V в 3,6 V при 250 kHz и L = 150 µH. Найдите наименьший ток нагрузки Io,min, при котором он остаётся в режиме непрерывного тока.
Vin = 9 VVo = 3,6 Vf = 250 kHzL = 150 µH
Io,min = A
3.Двигатели постоянного токаСредняя
Двигатель постоянного тока с k = 0,5 V·s/rad работает от 120 V. Пренебрегая всеми потерями на холостом ходу, найдите его скорость холостого хода n0 в rpm.
V = 120 Vk = 0,5 V·s/rad
n0 = rpm
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока независимого возбуждения (k = 0,75 V·s/rad при полном поле, Ra = 0,4 Ω, V = 120 V) приводит нагрузку с постоянным моментом 9 N·m. Поток возбуждения уменьшают до 90 % от полного значения. Найдите новую скорость n.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 7 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 7 kWpf = 0,85V = 230 V
Q = kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 11 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 240 V, 50 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 47 µF. Найдите новый коэффициент мощности cos φ со стороны сети.
P = 11 kWpf1 = 0,8V = 240 Vf = 50 HzC = 47 µF
cos φ =
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 22 kW. При этой нагрузке его КПД равен 92%, а коэффициент мощности 0,84 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 22 kWη = 92%cos φ = 0,84VL = 400 V
IL = A
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 120 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 120 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: L = 31,5 µH
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 7,2/24 = 0,3
Индуктивность
L = 16,8·0,3/(0,8·200·10³) = 31,5 µH
Ответ
L = 31,5 µH
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: Io,min = 0,0288 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 3,6/9 = 0,4
Пульсации тока
ΔIL = 3,6·0,6/(150·10⁻⁶·250·10³) = 0,0576 A
Граничный ток нагрузки
Io,min = ΔIL/2 = 0,0288 A
Ответ
Io,min = 0,0288 A
Ниже этого тока преобразователь переходит в режим прерывистого тока, и Vo поднимается выше D·Vin.
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: n0 = 2292 rpm
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Скорость холостого хода
ω₀ = V/k = 120/0,5 = 240 rad/s
n0 = 60·240/(2π) = 2292 rpm
Ответ
n0 = 2292 rpm
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: n = 1622 rpm
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Ослабление поля — способ, которым привод постоянного тока работает выше основной скорости.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 4,338 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 7·0,6197 = 4,338 kvar
Ответ
Q = 4,338 kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: cos φ = 0,8297
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = 11·tan(arccos 0,8) = 8,25 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·50·47·10⁻⁶ = 850,5 var = 0,8505 kvar
Q2 = 8,25 − 0,8505 = 7,4 kvar
Новая полная мощность
S2 = √(11² + 7,4²) = 13,26 kVA
Новый коэффициент мощности
cos φ = P/S2 = 11/13,26 = 0,8297
Ответ
cos φ = 0,8297
7.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 41,09 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 22/0,92 = 23,91 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 23913/(√3·400·0,84) = 41,09 A
Ответ
IL = 41,09 A
8.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 89,18 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.