Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный понижающий преобразователь преобразует 48 V в 14,4 V при частоте переключения 50 kHz. Найдите индуктивность L, при которой размах пульсаций тока катушки составляет 1,5 A.
Vin = 48 VVo = 14,4 Vf = 50 kHzΔIL = 1,5 A
L = µH
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Идеальный понижающе-повышающий преобразователь преобразует 15 V в −22,5 V при нагрузке 12 Ω и частоте 20 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 100 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔVo в mV.
Двигатель постоянного тока (k = 0,12 V·s/rad, Ra = 1 Ω) работает от 24 V. При полной нагрузке он потребляет 2 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − nFL)/nFL в процентах.
V = 24 Vk = 0,12 V·s/radRa = 1 ΩIFL = 2 A
SR = %
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока с k = 0,4 V·s/rad и Ra = 2 Ω должен приводить нагрузку 2 N·m со скоростью 600 rpm. Найдите необходимое напряжение якоря V.
k = 0,4 V·s/radRa = 2 ΩT = 2 N·mn = 600 rpm
V = V
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Нагрузка с полным сопротивлением Z = 9 + j12 Ω подключена к однофазной сети 230 V (действующее значение). Найдите потребляемую ею активную мощность P.
V = 230 VZ = 9 + j12 Ω
P = W
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 26 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 220 µF. Найдите новый коэффициент мощности cos φ со стороны сети.
P = 26 kWpf1 = 0,6V = 230 Vf = 60 HzC = 220 µF
cos φ =
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 120 A от сети с линейным напряжением 208 V. Коэффициент мощности 0,9 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 208 VIL = 120 Acos φ = 0,9
P = kW
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 100 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,95VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: L = 134,4 µH
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 14,4/48 = 0,3
Индуктивность
L = 33,6·0,3/(1,5·50·10³) = 134,4 µH
Ответ
L = 134,4 µH
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔVo = 562,5 mV
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 22,5/(15 + 22,5) = 0,6
Ток нагрузки
Io = 22,5/12 = 1,875 A
Пульсации выходного напряжения
ΔVo = 1,875·0,6/(20·10³·100·10⁻⁶) = 562,5 mV
Ответ
ΔVo = 562,5 mV
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: SR = 9,091 %
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Скорость холостого хода и при полной нагрузке
n₀ = 60·24/(2π·0,12) = 1910 rpm
nFL = 60·(24 − 2·1)/(2π·0,12) = 1751 rpm
Регулирование скорости
SR = (1910 − 1751)/1751·100 = 9,091 %
Ответ
SR = 9,091 %
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: V = 35,13 V
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Противо-ЭДС
E = 0,4·62,83 = 25,13 V
Ток якоря
Ia = 2/0,4 = 5 A
Напряжение якоря
V = 25,13 + 5·2 = 35,13 V
Ответ
V = 35,13 V
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: P = 2116 W
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток
|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
I = V/|Z| = 230/15 = 15,33 A
Активная мощность
P = I²·R = 15,33²·9 = 2116 W
Ответ
P = 2116 W
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: cos φ = 0,6515
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = 26·tan(arccos 0,6) = 34,67 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·220·10⁻⁶ = 4387 var = 4,387 kvar
Q2 = 34,67 − 4,387 = 30,28 kvar
Новая полная мощность
S2 = √(26² + 30,28²) = 39,91 kVA
Новый коэффициент мощности
cos φ = P/S2 = 26/39,91 = 0,6515
Ответ
cos φ = 0,6515
7.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 38,91 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·208·120 = 43,23 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 43,23·0,9 = 38,91 kW
Ответ
P = 38,91 kW
8.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 326,1 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,72) = 100·0,9639 = 96,39 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,95) = 100·0,3287 = 32,87 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 63,52 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.