Силовая электроника и электроприводы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

2Тренировочные задачи

1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 36 V в 60 V при 40 kHz и L = 150 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 36 VVo = 60 Vf = 40 kHzL = 150 µH

ΔI_L = A

2.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Понижающий преобразователь преобразует 36 V в 18 V при 100 kHz и L = 330 µH. Найдите наименьший ток нагрузки I_o,min, при котором он остаётся в режиме непрерывного тока.

Vin = 36 VVo = 18 Vf = 100 kHzL = 330 µH

I_o,min = A

3.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока отдаёт механическую мощность 5,5 kW при 3000 rpm. Найдите момент на валу T.

P = 5,5 kWn = 3000 rpm

T = N·m

4.Двигатели постоянного токаСложная

Прерыватель постоянного тока питает двигатель (k = 0,8 V·s/rad, R_a = 1 Ω) от шины постоянного тока 120 V. Среднее напряжение якоря равно D·120 V. Найдите коэффициент заполнения D, при котором двигатель вращается со скоростью 400 rpm при нагрузке 3,2 N·m.

V_dc = 120 Vk = 0,8 V·s/radR_a = 1 ΩT = 3,2 N·mn = 400 rpm

D = %

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 32 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 32 kWpf = 0,75V = 230 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 12 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 230 V, 50 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 100 µF. Найдите новый ток линии I.

P = 12 kWpf₁ = 0,65V = 230 Vf = 50 HzC = 100 µF

I = A

7.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 18,5 kW. При этой нагрузке его КПД равен 90%, а коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Линейное напряжение сети 480 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 18,5 kWη = 90%cos φ = 0,82V_L = 480 V

I_L = A

8.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 50 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3Растворы

1.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 2,4 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 1 − 36/60 = 0,4

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением V_in.

V_L = 36 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 36·0,4/(150·10⁻⁶·40·10³) = 2,4 A

Ответ

ΔI_L = 2,4 A

2.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: I_o,min = 0,1364 A

Коэффициент заполнения

D = 18/36 = 0,5

Пульсации тока

ΔI_L = 18·0,5/(330·10⁻⁶·100·10³) = 0,2727 A

Граничный ток нагрузки

I_o,min = ΔI_L/2 = 0,1364 A

Ответ

I_o,min = 0,1364 A

Ниже этого тока преобразователь переходит в режим прерывистого тока, и V_o поднимается выше D·V_in.

3.Двигатели постоянного тока

Ответ: T = 17,51 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость в rad/s

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

Крутящий момент

T = P/ω = 5500/314,2 = 17,51 N·m

Ответ

T = 17,51 N·m

4.Двигатели постоянного тока

Ответ: D = 31,26 %

Необходимое напряжение якоря

V_a = 0,8·41,89 + 4·1 = 37,51 V

Коэффициент заполнения

D = 37,51/120 = 31,26 %

Ответ

D = 31,26 %

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 28,22 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 32·0,8819 = 28,22 kvar

Ответ

Q = 28,22 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 74,92 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 12·tan(arccos 0,65) = 14,03 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·50·100·10⁻⁶ = 1662 var = 1,662 kvar

Q₂ = 14,03 − 1,662 = 12,37 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(12² + 12,37²) = 17,23 kVA

Новый ток линии

I = S₂/V = 17232/230 = 74,92 A

Ответ

I = 74,92 A

7.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 30,15 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 18,5/0,9 = 20,56 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 20556/(√3·480·0,82) = 30,15 A

Ответ

I_L = 30,15 A

8.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 19,88 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,75) = 50·0,8819 = 44,1 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,9) = 50·0,4843 = 24,22 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 19,88 kvar

Ответ

Q_C = 19,88 kvar

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics