Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Понижающий преобразователь преобразует 9 V в 4,5 V при нагрузке 12 Ω. Он переключается с частотой 20 kHz при L = 330 µH. Найдите пиковый ток катушки Imax.
Vin = 9 VVo = 4,5 Vf = 20 kHzL = 330 µHR = 12 Ω
Imax = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Понижающий преобразователь преобразует 12 V в 6 V при 50 kHz и L = 220 µH. Найдите наименьший ток нагрузки Io,min, при котором он остаётся в режиме непрерывного тока.
Vin = 12 VVo = 6 Vf = 50 kHzL = 220 µH
Io,min = A
3.Двигатели постоянного токаСредняя
Двигатель постоянного тока потребляет 12 A от источника 48 V. Сопротивление якоря равно 0,4 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 16 W. Найдите его КПД η.
V = 48 VIa = 12 ARa = 0,4 ΩProt = 16 W
η = %
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока с k = 0,75 V·s/rad и Ra = 1 Ω должен приводить нагрузку 9 N·m со скоростью 750 rpm. Найдите необходимое напряжение якоря V.
k = 0,75 V·s/radRa = 1 ΩT = 9 N·mn = 750 rpm
V = V
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 22 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) и нагреватель мощностью 18 kW (коэффициент мощности 1). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 15 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите реактивную мощность QC, которую должен поставлять конденсатор.
P = 15 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9V = 230 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 55 kW. При этой нагрузке его КПД равен 92%, а коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Линейное напряжение сети 690 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 55 kWη = 92%cos φ = 0,82VL = 690 V
IL = A
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 150 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 150 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: Imax = 0,5455 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 4,5/9 = 0,5
Средний ток и пульсации тока
Io = 4,5/12 = 0,375 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 4,5·0,5/(330·10⁻⁶·20·10³) = 0,3409 A
Пиковый ток
Imax = 0,375 + 0,3409/2 = 0,5455 A
Ответ
Imax = 0,5455 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: Io,min = 0,1364 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 6/12 = 0,5
Пульсации тока
ΔIL = 6·0,5/(220·10⁻⁶·50·10³) = 0,2727 A
Граничный ток нагрузки
Io,min = ΔIL/2 = 0,1364 A
Ответ
Io,min = 0,1364 A
Ниже этого тока преобразователь переходит в режим прерывистого тока, и Vo поднимается выше D·Vin.
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: η = 87,22 %
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Мощности
Pin = 48·12 = 576 W
Pdev = 43,2·12 = 518,4 W
Pout = 518,4 − 16 = 502,4 W
КПД
η = 502,4/576·100 = 87,22 %
Ответ
η = 87,22 %
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: V = 70,9 V
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Противо-ЭДС
E = 0,75·78,54 = 58,9 V
Ток якоря
Ia = 9/0,75 = 12 A
Напряжение якоря
V = 58,9 + 12·1 = 70,9 V
Ответ
V = 70,9 V
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: cos φ = 0,8721
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность каждой нагрузки
Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).
Q1 = 22·tan(arccos 0,7) = 22,44 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
Суммы
P = 22 + 18 = 40 kW
Q = 22,44 + 0 = 22,44 kvar
S = √(40² + 22,44²) = 45,87 kVA
Общий коэффициент мощности
cos φ = P/S = 40/45,87 = 0,8721 отстающий
Ответ
cos φ = 0,8721
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: QC = 8,038 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 15·tan(45,57°) = 15,3 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 15·tan(25,84°) = 7,265 kvar
QC = Q1 − Q2 = 8,038 kvar
Ответ
QC = 8,038 kvar
7.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 61 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 55/0,92 = 59,78 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 59783/(√3·690·0,82) = 61 A
Ответ
IL = 61 A
8.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 126,1 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.