Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный инвертирующий понижающе-повышающий преобразователь преобразует 48 V в −112 V при 500 kHz и L = 100 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔIL.
Vin = 48 VVo = −112 Vf = 500 kHzL = 100 µH
ΔIL = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Идеальный понижающе-повышающий преобразователь преобразует 12 V в −12 V при нагрузке 5 Ω и частоте 40 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 10 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔVo в mV.
Vin = 12 VVo = −12 Vf = 40 kHzC = 10 µFR = 5 Ω
ΔVo = mV
3.Двигатели постоянного токаСредняя
Двигатель постоянного тока (k = 0,8 N·m/A, Ra = 0,8 Ω) работает от 220 V и приводит нагрузку с моментом 20 N·m. Найдите его скорость n в rpm.
V = 220 Vk = 0,8 N·m/ARa = 0,8 ΩT = 20 N·m
n = rpm
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока на 24 V имеет сопротивление якоря 0,2 Ω. Найдите последовательное пусковое сопротивление Rst, ограничивающее пусковой ток до 15 A.
V = 24 VRa = 0,2 ΩImax = 15 A
Rst = Ω
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 32 kW при коэффициенте мощности 0,9 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 32 kWpf = 0,9V = 400 V
Q = kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазный трансформатор 100 kVA питает нагрузку 25 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?
Smax = 100 kVAP1 = 25 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 45 kW. При этой нагрузке его КПД равен 88%, а коэффициент мощности 0,9 (отстающий). Линейное напряжение сети 480 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 45 kWη = 88%cos φ = 0,9VL = 480 V
IL = A
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 60 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 60 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔIL = 0,672 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 112/(48 + 112) = 0,7
Напряжение на катушке во время включения
Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением Vin.
VL = 48 V
Пульсации тока
ΔIL = VL·D/(L·f) = 48·0,7/(100·10⁻⁶·500·10³) = 0,672 A
Ответ
ΔIL = 0,672 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔVo = 3000 mV
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 12/(12 + 12) = 0,5
Ток нагрузки
Io = 12/5 = 2,4 A
Пульсации выходного напряжения
ΔVo = 2,4·0,5/(40·10³·10·10⁻⁶) = 3000 mV
Ответ
ΔVo = 3000 mV
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: n = 2387 rpm
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Ток якоря
Ia = T/k = 20/0,8 = 25 A
Противо-ЭДС и скорость
E = 220 − 25·0,8 = 200 V
ω = E/k = 250 rad/s → n = 2387 rpm
Ответ
n = 2387 rpm
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: Rst = 1,4 Ω
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Полное сопротивление
Ra + Rst = 24/15 = 1,6 Ω
Пусковой резистор
Rst = 1,6 − 0,2 = 1,4 Ω
Ответ
Rst = 1,4 Ω
Резистор выводят ступенями по мере разгона двигателя и роста противо-ЭДС.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 15,5 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,9) = 25,84°, tan φ = 0,4843
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 32·0,4843 = 15,5 kvar
Ответ
Q = 15,5 kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: ΔP = 73,23 kW
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность существующей нагрузки
Q1 = 25·tan(arccos 0,8) = 18,75 kvar
Наибольшая суммарная активная мощность
При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.
P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 18,75²) = 98,23 kW
Дополнительная активная мощность
ΔP = 98,23 − 25 = 73,23 kW
Ответ
ΔP = 73,23 kW
7.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 68,34 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 45/0,88 = 51,14 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 51136/(√3·480·0,9) = 68,34 A
Ответ
IL = 68,34 A
8.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 50,43 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.