Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный повышающий преобразователь преобразует 24 V в 60 V при 40 kHz и L = 150 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔIL.
Vin = 24 VVo = 60 Vf = 40 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Идеальный повышающий преобразователь преобразует 12 V в 30 V при нагрузке 8 Ω и частоте 500 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 470 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔVo в mV.
Vin = 12 VVo = 30 Vf = 500 kHzC = 470 µFR = 8 Ω
ΔVo = mV
3.Двигатели постоянного токаСредняя
Двигатель постоянного тока потребляет 8 A от источника 240 V. Сопротивление якоря равно 1 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 56 W. Найдите его КПД η.
V = 240 VIa = 8 ARa = 1 ΩProt = 56 W
η = %
4.Двигатели постоянного токаСложная
Прерыватель постоянного тока питает двигатель (k = 1,2 V·s/rad, Ra = 1,2 Ω) от шины постоянного тока 220 V. Среднее напряжение якоря равно D·220 V. Найдите коэффициент заполнения D, при котором двигатель вращается со скоростью 600 rpm при нагрузке 6 N·m.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Нагрузка с полным сопротивлением Z = 15 + j20 Ω подключена к однофазной сети 120 V (действующее значение). Найдите потребляемую ею активную мощность P.
V = 120 VZ = 15 + j20 Ω
P = W
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 35 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 400 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите необходимую ёмкость C.
P = 35 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,9V = 400 Vf = 60 Hz
C = µF
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 120 A от сети с линейным напряжением 690 V. Коэффициент мощности 0,7 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 690 VIL = 120 Acos φ = 0,7
P = kW
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 75 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,95VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔIL = 2,4 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 1 − 24/60 = 0,6
Напряжение на катушке во время включения
Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением Vin.
VL = 24 V
Пульсации тока
ΔIL = VL·D/(L·f) = 24·0,6/(150·10⁻⁶·40·10³) = 2,4 A
Ответ
ΔIL = 2,4 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔVo = 9,574 mV
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 1 − 12/30 = 0,6
Ток нагрузки
Io = 30/8 = 3,75 A
Пульсации выходного напряжения
ΔVo = 3,75·0,6/(500·10³·470·10⁻⁶) = 9,574 mV
Ответ
ΔVo = 9,574 mV
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: η = 93,75 %
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Мощности
Pin = 240·8 = 1920 W
Pdev = 232·8 = 1856 W
Pout = 1856 − 56 = 1800 W
КПД
η = 1800/1920·100 = 93,75 %
Ответ
η = 93,75 %
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: D = 37 %
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Необходимое напряжение якоря
Va = 1,2·62,83 + 5·1,2 = 81,4 V
Коэффициент заполнения
D = 81,4/220 = 37 %
Ответ
D = 37 %
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: P = 345,6 W
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток
|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 120/25 = 4,8 A
Активная мощность
P = I²·R = 4,8²·15 = 345,6 W
Ответ
P = 345,6 W
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: C = 154,2 µF
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(36,87°) = 26,25 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(25,84°) = 16,95 kvar
QC = Q1 − Q2 = 9,299 kvar
Ёмкость
Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 9299/(2π·60·400²) = 154,2 µF
Ответ
C = 154,2 µF
7.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 100,4 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·690·120 = 143,4 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 143,4·0,7 = 100,4 kW
Ответ
P = 100,4 kW
8.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 51,86 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.