Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный понижающий преобразователь преобразует 12 V в 3,6 V при частоте переключения 25 kHz. Найдите индуктивность L, при которой размах пульсаций тока катушки составляет 0,4 A.
Vin = 12 VVo = 3,6 Vf = 25 kHzΔIL = 0,4 A
L = µH
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Понижающий преобразователь преобразует 12 V в 6 V при 20 kHz и L = 150 µH. Найдите наименьший ток нагрузки Io,min, при котором он остаётся в режиме непрерывного тока.
Vin = 12 VVo = 6 Vf = 20 kHzL = 150 µH
Io,min = A
3.Двигатели постоянного токаСредняя
Двигатель постоянного тока с k = 0,5 V·s/rad работает от 120 V. Пренебрегая всеми потерями на холостом ходу, найдите его скорость холостого хода n0 в rpm.
V = 120 Vk = 0,5 V·s/rad
n0 = rpm
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока (k = 0,08 V·s/rad, Ra = 0,5 Ω) при фиксированном питании 24 V приводит нагрузку 0,32 N·m. Найдите последовательное сопротивление Rs, замедляющее его до 800 rpm.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
К однофазной сети 230 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 18 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) и нагрузка 21 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Источник 24 V (действующее значение), 50 Hz имеет внутреннее сопротивление Zs = 25 + j15 Ω. Полное сопротивление нагрузки ZL можно выбирать произвольно. Найдите наибольшую активную мощность Pmax, которую можно передать нагрузке.
Vs = 24 V (rms)f = 50 HzZs = 25 + j15 Ω
Pmax = W
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 75 kW. При этой нагрузке его КПД равен 94%, а коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Линейное напряжение сети 480 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 75 kWη = 94%cos φ = 0,82VL = 480 V
IL = A
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 150 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 150 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: L = 252 µH
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 3,6/12 = 0,3
Индуктивность
L = 8,4·0,3/(0,4·25·10³) = 252 µH
Ответ
L = 252 µH
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: Io,min = 0,5 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 6/12 = 0,5
Пульсации тока
ΔIL = 6·0,5/(150·10⁻⁶·20·10³) = 1 A
Граничный ток нагрузки
Io,min = ΔIL/2 = 0,5 A
Ответ
Io,min = 0,5 A
Ниже этого тока преобразователь переходит в режим прерывистого тока, и Vo поднимается выше D·Vin.
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: n0 = 2292 rpm
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Скорость холостого хода
ω₀ = V/k = 120/0,5 = 240 rad/s
n0 = 60·240/(2π) = 2292 rpm
Ответ
n0 = 2292 rpm
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: Rs = 3,824 Ω
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Ток и противо-ЭДС
Ia = 0,32/0,08 = 4 A
E = 0,08·83,78 = 6,702 V
Последовательное сопротивление
Ra + Rs = (24 − 6,702)/4 = 4,324 Ω
Rs = 3,824 Ω
Ответ
Rs = 3,824 Ω
Резистор рассеивает 61,19 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: cos φ = 0,7532
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность каждой нагрузки
Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).
Q1 = 18·tan(arccos 0,65) = 21,04 kvar
Q2 = 21·tan(arccos 0,85) = 13,01 kvar
Суммы
P = 18 + 21 = 39 kW
Q = 21,04 + 13,01 = 34,06 kvar
S = √(39² + 34,06²) = 51,78 kVA
Общий коэффициент мощности
cos φ = P/S = 39/51,78 = 0,7532 отстающий
Ответ
cos φ = 0,7532
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Pmax = 5,76 W
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопряжённое согласование
Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.
ZL = Zs* = 25 − j15 Ω
Наибольшая мощность
I = Vs/(2Rs) = 24/50 = 0,48 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 24²/(4·25) = 5,76 W
Ответ
Pmax = 5,76 W
7.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 117 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 75/0,94 = 79,79 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 79787/(√3·480·0,82) = 117 A
Ответ
IL = 117 A
8.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 126,1 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.