Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный понижающий преобразователь преобразует 9 V в 2,7 V при 50 kHz и L = 330 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔIL.
Vin = 9 VVo = 2,7 Vf = 50 kHzL = 330 µH
ΔIL = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Понижающий преобразователь преобразует 9 V в 4,5 V при нагрузке 20 Ω и частоте 40 kHz, при L = 330 µH и C = 10 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔVo в mV.
Двигатель постоянного тока потребляет 4 A от источника 120 V. Сопротивление якоря равно 1,5 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 27 W. Найдите его КПД η.
V = 120 VIa = 4 ARa = 1,5 ΩProt = 27 W
η = %
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока независимого возбуждения на 110 V (Ra = 1,5 Ω) вращается со скоростью 1440 rpm при токе якоря 6 A. Нагрузка изменяется, и ток становится равным 3 A при неизменном поле. Найдите новую скорость n2.
V = 110 VRa = 1,5 Ωn1 = 1440 rpmIa1 = 6 AIa2 = 3 A
n2 = rpm
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 18 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 18 kWpf = 0,65V = 400 V
Q = kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 35 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 400 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,95. Найдите необходимую ёмкость C.
P = 35 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,95V = 400 Vf = 60 Hz
C = µF
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 150 A от сети с линейным напряжением 415 V. Коэффициент мощности 0,8 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 415 VIL = 150 Acos φ = 0,8
P = kW
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 50 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔIL = 0,1145 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 2,7/9 = 0,3
Напряжение на катушке во время включения
Пока S включён, катушка индуктивности находится между Vin и Vo.
VL = 9 − 2,7 = 6,3 V
Пульсации тока
ΔIL = VL·D/(L·f) = 6,3·0,3/(330·10⁻⁶·50·10³) = 0,1145 A
Ответ
ΔIL = 0,1145 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔVo = 53,27 mV
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 4,5/9 = 0,5
Пульсации тока катушки
ΔIL = (9 − 4,5)·0,5/(330·10⁻⁶·40·10³) = 0,1705 A
Пульсации выходного напряжения
ΔVo = 0,1705/(8·40·10³·10·10⁻⁶) = 53,27 mV
Ответ
ΔVo = 53,27 mV
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: η = 89,38 %
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Мощности
Pin = 120·4 = 480 W
Pdev = 114·4 = 456 W
Pout = 456 − 27 = 429 W
КПД
η = 429/480·100 = 89,38 %
Ответ
η = 89,38 %
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: n2 = 1504 rpm
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Противо-ЭДС до и после
E1 = 110 − 6·1,5 = 101 V
E2 = 110 − 3·1,5 = 105,5 V
Новая скорость
n2 = 1440·105,5/101 = 1504 rpm
Ответ
n2 = 1504 rpm
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 21,04 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 18·1,169 = 21,04 kvar
Ответ
Q = 21,04 kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: C = 583 µF
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(53,13°) = 46,67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(18,19°) = 11,5 kvar
QC = Q1 − Q2 = 35,16 kvar
Ёмкость
Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 35163/(2π·60·400²) = 583 µF
Ответ
C = 583 µF
7.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 86,26 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·415·150 = 107,8 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 107,8·0,8 = 86,26 kW
Ответ
P = 86,26 kW
8.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 31,76 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.