Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 15 + j20 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 400 VZ = 15 + j20 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,98V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 250 kVA, 4800/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_HV в обмотке высшего напряжения.

S = 250 kVAV₁ = 4800 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 100 kVA имеет потери в стали 600 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,85 (отстающий) его КПД равен 96%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 100 kVAP_core = 600 Wpf = 0,85η = 96%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Индуктивная нагрузка потребляет 5 A и 360 W от однофазной сети 120 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите R.

V = 120 VI = 5 AP = 360 W

R = Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Источник 24 V (действующее значение), 1000 Hz имеет внутреннее сопротивление Z_s = 10 + j6 Ω. Полное сопротивление нагрузки Z_L можно выбирать произвольно. Найдите наибольшую активную мощность P_max, которую можно передать нагрузке.

V_s = 24 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 10 + j6 Ω

P_max = W

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 1 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 24 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 50 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 0,15 N·m/A и R_a = 1,5 Ω подключён к 24 V. Найдите его момент при заторможенном роторе T_stall, то есть момент при нулевой скорости.

V = 24 Vk = 0,15 N·m/AR_a = 1,5 Ω

T_stall = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Прерыватель постоянного тока питает двигатель (k = 0,5 V·s/rad, R_a = 0,5 Ω) от шины постоянного тока 120 V. Среднее напряжение якоря равно D·120 V. Найдите коэффициент заполнения D, при котором двигатель вращается со скоростью 1500 rpm при нагрузке 4 N·m.

V_dc = 120 Vk = 0,5 V·s/radR_a = 0,5 ΩT = 4 N·mn = 1500 rpm

D = %

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 11,52 kW

Фазное напряжение

V_ph = V_L = 400 V

Фазный ток

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω

I_ph = 400/25 = 16 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·16²·15 = 11,52 kW

Ответ

P = 11,52 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,6, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 755,6 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,8) = 100·0,75 = 75 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,98) = 100·0,2031 = 20,31 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 54,69 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 18231/(314,2·277,1²) = 755,6 µF

Ответ

C_ph = 755,6 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I_HV = 52,08 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_HV = S/V = 250000/4800 = 52,08 A

Ответ

I_HV = 52,08 A

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 2942 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 100·0,85 = 85 kW

P_in = 85000/0,96 = 88542 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 88542 − 85000 = 3542 W

P_cu,fl = 3542 − 600 = 2942 W

Ответ

P_cu,fl = 2942 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: R = 14,4 Ω

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Сопротивление по активной мощности

R = P/I² = 360/5² = 14,4 Ω

Ответ

R = 14,4 Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: P_max = 14,4 W

Сопряжённое согласование

Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.

Z_L = Z_s* = 10 − j6 Ω

Наибольшая мощность

I = V_s/(2R_s) = 24/20 = 1,2 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 24²/(4·10) = 14,4 W

Ответ

P_max = 14,4 W

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,7224 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−161,2)²) = 166,1 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 120/166,1 = 0,7224 A

Ответ

I = 0,7224 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 66,78 Ω

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 32,36 − j23,89 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 30 + 32,36 − j23,89 = 62,36 − j23,89 Ω

|Z| = √(62,36² + 23,89²) = 66,78 Ω

Ответ

|Z| = 66,78 Ω

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T_stall = 2,4 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток при заторможенном роторе

I_a = V/R_a = 24/1,5 = 16 A

Момент при заторможенном роторе

T_stall = 0,15·16 = 2,4 N·m

Ответ

T_stall = 2,4 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: D = 68,78 %

Необходимое напряжение якоря

V_a = 0,5·157,1 + 8·0,5 = 82,54 V

Коэффициент заполнения

D = 82,54/120 = 68,78 %

Ответ

D = 68,78 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems