Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 25 A от сети с линейным напряжением 208 V. Коэффициент мощности 0,75 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 208 VI_L = 25 Acos φ = 0,75

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 120 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 120 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,9V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Усилитель с выходным сопротивлением 32 Ω питает громкоговоритель 2 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 32 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

R_s = 32 ΩR_L = 2 Ω

a =

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 450 W и потери в меди 1800 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 150 kVAP_core = 450 WP_cu,fl = 1800 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 400 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 4 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) и нагрузка 2 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном). Найдите общий ток I, потребляемый от сети.

V = 400 VP₁ = 4 kW, pf₁ = 0,75 отстающийP₂ = 2 kW, pf₂ = 0,8 отстающий

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 5 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 400 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,95. Найдите необходимую ёмкость C.

P = 5 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V = 400 Vf = 50 Hz

C = µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 47 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 47 µF

V_C = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,4 V·s/rad, R_a = 2 Ω) работает от 120 V. При полной нагрузке он потребляет 8 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 120 Vk = 0,4 V·s/radR_a = 2 ΩI_FL = 8 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения (k = 0,6 V·s/rad при полном поле, R_a = 0,4 Ω, V = 110 V) приводит нагрузку с постоянным моментом 6 N·m. Поток возбуждения уменьшают до 85 % от полного значения. Найдите новую скорость n.

V = 110 Vk = 0,6 V·s/radR_a = 0,4 ΩT = 6 N·mΦ = 85 %

n = rpm

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 6,755 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·208·25 = 9,007 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 9,007·0,75 = 6,755 kW

Ответ

P = 6,755 kW

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 1189 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,7) = 120·1,02 = 122,4 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,9) = 120·0,4843 = 58,12 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 64,31 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 21435/(314,2·239,6²) = 1189 µF

Ответ

C_ph = 1189 µF

3.Трансформаторы

Ответ: a = 4

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·2 = 32

a = √(32/2) = √16 = 4

Ответ

a = 4

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 75 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·1800 = 450 → x = √(450/1800) = 0,5

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,5·150 = 75 kVA

Ответ

S_η,max = 75 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 19,57 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 4·tan(arccos 0,75) = 3,528 kvar

Q₂ = 2·tan(arccos 0,8) = 1,5 kvar

Суммы

P = 4 + 2 = 6 kW

Q = 3,528 + 1,5 = 5,028 kvar

S = √(6² + 5,028²) = 7,828 kVA

Общий ток

I = S/V = 7828/400 = 19,57 A

Ответ

I = 19,57 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 55,03 µF

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 5·tan(41,41°) = 4,41 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 5·tan(18,19°) = 1,643 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 2,766 kvar

Ёмкость

Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 2766/(2π·50·400²) = 55,03 µF

Ответ

C = 55,03 µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,9942 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (10,81)²) = 100,6 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/100,6 = 0,9942 A

Ответ

I = 0,9942 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 3,395 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (108,7)²) = 119,7 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 24/119,7 = 0,2005 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,2005·16,93 = 3,395 V

Ответ

V_C = 3,395 V

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 15,38 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·120/(2π·0,4) = 2865 rpm

n_FL = 60·(120 − 8·2)/(2π·0,4) = 2483 rpm

Регулирование скорости

SR = (2865 − 2483)/2483·100 = 15,38 %

Ответ

SR = 15,38 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 1972 rpm

Ослабленная постоянная двигателя

k₂ = 0,85·0,6 = 0,51 V·s/rad

Новый ток якоря

I_a = 6/0,51 = 11,76 A

Новая скорость

ω = (110 − 11,76·0,4)/0,51 = 206,5 rad/s → n = 1972 rpm

Ответ

n = 1972 rpm

Ослабление поля — способ, которым привод постоянного тока работает выше основной скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems