Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 10 A от сети с линейным напряжением 690 V. Коэффициент мощности 0,9 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 690 VI_L = 10 Acos φ = 0,9

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,98V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 20:1 приложено 2400 V. К вторичной обмотке подключён резистор 8 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 20:1V₁ = 2400 VR_L = 8 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 100 W и потери в меди 400 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 25 kVAP_core = 100 WP_cu,fl = 400 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Индуктивная нагрузка потребляет 12 A и 1656 W от однофазной сети 230 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите X.

V = 230 VI = 12 AP = 1656 W

X = Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 35 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 240 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,95. Найдите реактивную мощность Q_C, которую должен поставлять конденсатор.

P = 35 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,95V = 240 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 100 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите резонансную частоту f₀ цепи.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,3 V·s/rad, R_a = 0,2 Ω) работает от 110 V. При полной нагрузке он потребляет 40 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 110 Vk = 0,3 V·s/radR_a = 0,2 ΩI_FL = 40 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока на 240 V имеет сопротивление якоря 0,5 Ω. Найдите последовательное пусковое сопротивление R_st, ограничивающее пусковой ток до 40 A.

V = 240 VR_a = 0,5 ΩI_max = 40 A

R_st = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 10,76 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·690·10 = 11,95 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 11,95·0,9 = 10,76 kW

Ответ

P = 10,76 kW

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 219 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,72) = 75·0,9639 = 72,29 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,98) = 75·0,2031 = 15,23 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 57,06 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 19020/(377·480²) = 219 µF

Ответ

C_ph = 219 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 0,75 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 2400/20 = 120 V

I₂ = 120/8 = 15 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/20 = 0,75 A

Ответ

I₁ = 0,75 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 3200 Ω, и 2400/3200 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 12,5 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·400 = 100 → x = √(100/400) = 0,5

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,5·25 = 12,5 kVA

Ответ

S_η,max = 12,5 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: X = 15,33 Ω

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Сопротивление по активной мощности

R = P/I² = 1656/12² = 11,5 Ω

Реактивное сопротивление по полному

|Z| = V/I = 230/12 = 19,17 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(19,17² − 11,5²) = 15,33 Ω

Ответ

X = 15,33 Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q_C = 29,42 kvar

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 35·tan(49,46°) = 40,92 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 35·tan(18,19°) = 11,5 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 29,42 kvar

Ответ

Q_C = 29,42 kvar

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,8417 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (141,2)²) = 142,6 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 120/142,6 = 0,8417 A

Ответ

I = 0,8417 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f₀ = 151,7 Hz

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·22·10⁻⁶)) = 151,7 Hz

Ответ

f₀ = 151,7 Hz

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 7,843 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·110/(2π·0,3) = 3501 rpm

n_FL = 60·(110 − 40·0,2)/(2π·0,3) = 3247 rpm

Регулирование скорости

SR = (3501 − 3247)/3247·100 = 7,843 %

Ответ

SR = 7,843 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_st = 5,5 Ω

Полное сопротивление

R_a + R_st = 240/40 = 6 Ω

Пусковой резистор

R_st = 6 − 0,5 = 5,5 Ω

Ответ

R_st = 5,5 Ω

Резистор выводят ступенями по мере разгона двигателя и роста противо-ЭДС.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems