Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc

Метод

  1. Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
  2. Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
  3. Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
  4. Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 400 VZ = 8 + j6 Ωна фазу

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 8 + j6 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

VL = 400 VZ = 8 + j6 Ω на фазу
P = kW
2.Трёхфазная мощностьСложная
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 120 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.

P = 120 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,95VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.ТрансформаторыСредняя
10 ΩN1​N2​1000 Ω

Усилитель с выходным сопротивлением 1000 Ω питает громкоговоритель 10 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 1000 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

Rs = 1000 ΩRL = 10 Ω
a =
4.ТрансформаторыСложная
pf 0,8550 kVA, η = 98,2%

Однофазный трансформатор 50 kVA имеет потери в стали 300 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,85 (отстающий) его КПД равен 98,2%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.

S = 50 kVAPcore = 300 Wpf = 0,85η = 98,2%
Pcu,fl = W
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
240 V125 kW, 0,6214 kW, 1I

К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 25 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) и нагреватель мощностью 14 kW (коэффициент мощности 1). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 240 VP1 = 25 kW, pf1 = 0,6 отстающийP2 = 14 kW, pf2 = 1
cos φ =
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
P1​ = 108 kWQ1​S1​φ

Однофазный трансформатор 200 kVA питает нагрузку 108 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

Smax = 200 kVAP1 = 108 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
24 V200 HzR = 15 ΩL = 20 mHI

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 24 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 20 mH
|Z| = Ω
8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
2 Vf0​R = 20 ΩL = 20 mHC = 1 µF

Последовательный RLC-контур питается от источника 2 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение VL на катушке.

V = 2 V (rms)R = 20 ΩL = 20 mHC = 1 µF
VL = V
9.Двигатели постоянного токаСредняя
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

Двигатель постоянного тока с k = 0,8 V·s/rad работает от 110 V. Пренебрегая всеми потерями на холостом ходу, найдите его скорость холостого хода n0 в rpm.

V = 110 Vk = 0,8 V·s/rad
n0 = rpm
10.Двигатели постоянного токаСложная
+−48 VRa​ = 0,5 ΩM+−EωT

Небольшой двигатель постоянного тока имеет сопротивление якоря 0,5 Ω и работает от 48 V. Пренебрегая потерями на вращение, найдите наибольшую механическую мощность Pmax, которую он может развить на любой скорости.

V = 48 VRa = 0,5 Ω
Pmax = W

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 38,4 kW

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазное напряжение

Vph = VL = 400 V

Фазный ток

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω
Iph = 400/10 = 40 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·Iph²·R = 3·40²·8 = 38,4 kW

Ответ

P = 38,4 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,8, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Cph = 1409 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 120·tan(acos 0,72) = 120·0,9639 = 115,7 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,95) = 120·0,3287 = 39,44 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 76,22 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 25407/(314,2·239,6²) = 1409 µF

Ответ

Cph = 1409 µF
3.Трансформаторы

Ответ: a = 10

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·10 = 1000
a = √(1000/10) = √100 = 10

Ответ

a = 10
4.Трансформаторы

Ответ: Pcu,fl = 479 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

Pout = 50·0,85 = 42,5 kW
Pin = 42500/0,982 = 43279 W

Суммарные потери и потери в меди

Ploss = 43279 − 42500 = 779 W
Pcu,fl = 779 − 300 = 479 W

Ответ

Pcu,fl = 479 W
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,7602

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q1 = 25·tan(arccos 0,6) = 33,33 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar

Суммы

P = 25 + 14 = 39 kW
Q = 33,33 + 0 = 33,33 kvar
S = √(39² + 33,33²) = 51,3 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 39/51,3 = 0,7602 отстающий

Ответ

cos φ = 0,7602
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 74,86 kW

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q1 = 108·tan(arccos 0,8) = 81 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 81²) = 182,9 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 182,9 − 108 = 74,86 kW

Ответ

ΔP = 74,86 kW
7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 12,88 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

XL = ωL = 2π·200·0,02 = 25,13 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

IR = V/R = 24/15 = 1,6 A
IX = V/XL = 24/25,13 = 0,9549 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(IR² + IX²) = √(1,6² + 0,9549²) = 1,863 A

Полное сопротивление

|Z| = V/I = 24/1,863 = 12,88 Ω

Ответ

|Z| = 12,88 Ω
8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: VL = 14,14 V

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·1·10⁻⁶) = 7071 rad/s
I = V/R = 2/20 = 0,1 A

Напряжение на катушке

XL = ω₀L = 7071·0,02 = 141,4 Ω
VL = I·XL = 0,1·141,4 = 14,14 V

Ответ

VL = 14,14 V

Это в Q = 7,071 раз больше напряжения источника.

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n0 = 1313 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода

ω₀ = V/k = 110/0,8 = 137,5 rad/s
n0 = 60·137,5/(2π) = 1313 rpm

Ответ

n0 = 1313 rpm
10.Двигатели постоянного тока

Ответ: Pmax = 1152 W

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.

Мощность как функция противо-ЭДС

P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V

Наибольшая мощность

Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 48²/(4·0,5) = 1152 W

Ответ

Pmax = 1152 W

В этой точке КПД составляет всего 50 %, поэтому реальные двигатели работают заметно выше половины скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems