Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 20 + j15 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 400 VZ = 20 + j15 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 200 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 200 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,98V_L = 480 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

К вторичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 12:1 подключён резистор 50 Ω. Найдите сопротивление R_1′ со стороны первичной обмотки.

N₁:N₂ = 12:1R_L = 50 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 250 kVA имеет потери в стали 1000 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,85 (отстающий) его КПД равен 98%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 250 kVAP_core = 1000 Wpf = 0,85η = 98%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Индуктивная нагрузка потребляет 2 A и 336 W от однофазной сети 240 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите R.

V = 240 VI = 2 AP = 336 W

R = Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 10 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 230 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,98. Найдите новый ток линии I_new.

P = 10 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,98V = 230 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 100 µF

φ = °

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 1 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 1 V (rms)R = 10 ΩL = 5 mHC = 0,22 µF

V_L = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 1,5 V·s/rad, R_a = 0,8 Ω) работает от 220 V. При полной нагрузке он потребляет 30 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 220 Vk = 1,5 V·s/radR_a = 0,8 ΩI_FL = 30 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока на 220 V имеет сопротивление якоря 2 Ω. Найдите последовательное пусковое сопротивление R_st, ограничивающее пусковой ток до 80 A.

V = 220 VR_a = 2 ΩI_max = 80 A

R_st = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 5,12 kW

Фазное напряжение

V_ph = 400/√3 = 230,9 V

Фазный ток

|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω

I_ph = 230,9/25 = 9,238 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·9,238²·20 = 5,12 kW

Ответ

P = 5,12 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,8, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 109,4 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,8) = 200·0,75 = 150 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,98) = 200·0,2031 = 40,61 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 109,4 kvar

Ответ

Q_C = 109,4 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: R_1′ = 7200 Ω

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Приведённое сопротивление

Напряжение растёт в a раз, а ток уменьшается в a раз, поэтому отношение V/I растёт в a² раз.

R_1′ = a²·R_L = 12²·50 = 7200 Ω

Ответ

R_1′ = 7200 Ω

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 3337 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 250·0,85 = 212,5 kW

P_in = 212500/0,98 = 216837 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 216837 − 212500 = 4337 W

P_cu,fl = 4337 − 1000 = 3337 W

Ответ

P_cu,fl = 3337 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: R = 84 Ω

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Сопротивление по активной мощности

R = P/I² = 336/2² = 84 Ω

Ответ

R = 84 Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I_new = 44,37 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(41,41°) = 8,819 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(11,48°) = 2,031 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 6,789 kvar

Новый ток линии

I_new = P/(V·cos φ₂) = 10000/(230·0,98) = 44,37 A

Ответ

I_new = 44,37 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −37,21 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,02 = 7,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−18,99)²) = 31,39 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−18,99/25) = −37,21°

Ответ

φ = −37,21°

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 15,08 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,22·10⁻⁶) = 30151 rad/s

I = V/R = 1/10 = 0,1 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 30151·0,005 = 150,8 Ω

V_L = I·X_L = 0,1·150,8 = 15,08 V

Ответ

V_L = 15,08 V

Это в Q = 15,08 раз больше напряжения источника.

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 12,24 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·220/(2π·1,5) = 1401 rpm

n_FL = 60·(220 − 30·0,8)/(2π·1,5) = 1248 rpm

Регулирование скорости

SR = (1401 − 1248)/1248·100 = 12,24 %

Ответ

SR = 12,24 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_st = 0,75 Ω

Полное сопротивление

R_a + R_st = 220/80 = 2,75 Ω

Пусковой резистор

R_st = 2,75 − 2 = 0,75 Ω

Ответ

R_st = 0,75 Ω

Резистор выводят ступенями по мере разгона двигателя и роста противо-ЭДС.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems