Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 20 A от сети с линейным напряжением 400 V. Коэффициент мощности 0,85 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 400 VI_L = 20 Acos φ = 0,85

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 150 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 150 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 5:1 приложено 1200 V. К вторичной обмотке подключён резистор 60 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 5:1V₁ = 1200 VR_L = 60 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 250 kVA имеет потери в стали 1500 W и потери в меди 3000 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 250 kVAP_core = 1500 WP_cu,fl = 3000 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 400 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 9 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) и нагрузка 2 kW при коэффициенте мощности 0,9 (ёмкостном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 400 VP₁ = 9 kW, pf₁ = 0,8 отстающийP₂ = 2 kW, pf₂ = 0,9 опережающий

cos φ =

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазный трансформатор 75 kVA питает нагрузку 20 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

S_max = 75 kVAP₁ = 20 kWpf₁ = 0,8

ΔP = kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 22 µF

φ = °

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 1 µF

I = A

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,8 V·s/rad, R_a = 0,4 Ω) работает от 110 V. При полной нагрузке он потребляет 25 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 110 Vk = 0,8 V·s/radR_a = 0,4 ΩI_FL = 25 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Небольшой двигатель постоянного тока имеет сопротивление якоря 2 Ω и работает от 24 V. Пренебрегая потерями на вращение, найдите наибольшую механическую мощность P_max, которую он может развить на любой скорости.

V = 24 VR_a = 2 Ω

P_max = W

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 11,78 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·400·20 = 13,86 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 13,86·0,85 = 11,78 kW

Ответ

P = 11,78 kW

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 89,13 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,7) = 150·1,02 = 153 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,92) = 150·0,426 = 63,9 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 89,13 kvar

Ответ

Q_C = 89,13 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 0,8 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 1200/5 = 240 V

I₂ = 240/60 = 4 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/5 = 0,8 A

Ответ

I₁ = 0,8 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 1500 Ω, и 1200/1500 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 176,8 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·3000 = 1500 → x = √(1500/3000) = 0,7071

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,7071·250 = 176,8 kVA

Ответ

S_η,max = 176,8 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,8852

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 9·tan(arccos 0,8) = 6,75 kvar

Q₂ = −2·tan(arccos 0,9) = −0,9686 kvar

Суммы

P = 9 + 2 = 11 kW

Q = 6,75 + (−0,9686) = 5,781 kvar

S = √(11² + 5,781²) = 12,43 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 11/12,43 = 0,8852 отстающий

Ответ

cos φ = 0,8852

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 53,48 kW

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q₁ = 20·tan(arccos 0,8) = 15 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = S_max, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(75² − 15²) = 73,48 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 73,48 − 20 = 53,48 kW

Ответ

ΔP = 53,48 kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 81,81 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (278)²) = 280,9 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(278/40) = 81,81°

Ответ

φ = 81,81°

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,5924 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−161,2)²) = 168,8 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/168,8 = 0,5924 A

Ответ

I = 0,5924 A

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 10 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·110/(2π·0,8) = 1313 rpm

n_FL = 60·(110 − 25·0,4)/(2π·0,8) = 1194 rpm

Регулирование скорости

SR = (1313 − 1194)/1194·100 = 10 %

Ответ

SR = 10 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: P_max = 72 W

Мощность как функция противо-ЭДС

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V

Наибольшая мощность

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 24²/(4·2) = 72 W

Ответ

P_max = 72 W

В этой точке КПД составляет всего 50 %, поэтому реальные двигатели работают заметно выше половины скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems