Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 55 kW. При этой нагрузке его КПД равен 93%, а коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 55 kWη = 93%cos φ = 0,82V_L = 400 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 4:1 приложено 920 V. К вторичной обмотке подключён резистор 24 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 920 VR_L = 24 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 200 kVA имеет потери в стали 800 W и потери в меди 3200 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 75% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,85 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 200 kVAP_core = 800 WP_cu,fl = 3200 Wx = 0,75pf = 0,85

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 7 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 7 kWpf = 0,8V = 400 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 20 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 240 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите необходимую ёмкость C.

P = 20 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 60 Hz

C = µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите активную мощность P, потребляемую от источника.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF

P = W

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

V_C = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока потребляет 40 A от источника 220 V. Сопротивление якоря равно 0,4 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 326 W. Найдите его КПД η.

V = 220 VI_a = 40 AR_a = 0,4 ΩP_rot = 326 W

η = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока (k = 0,5 V·s/rad, R_a = 1,2 Ω) при фиксированном питании 120 V приводит нагрузку 2 N·m. Найдите последовательное сопротивление R_s, замедляющее его до 750 rpm.

V = 120 Vk = 0,5 V·s/radR_a = 1,2 ΩT = 2 N·mn = 750 rpm

R_s = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 104,1 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 55/0,93 = 59,14 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 59140/(√3·400·0,82) = 104,1 A

Ответ

I_L = 104,1 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 588,9 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,78) = 75·0,8023 = 60,17 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,95) = 75·0,3287 = 24,65 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 35,52 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 11840/(377·230,9²) = 588,9 µF

Ответ

C_ph = 588,9 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 2,396 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 920/4 = 230 V

I₂ = 230/24 = 9,583 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/4 = 2,396 A

Ответ

I₁ = 2,396 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 384 Ω, и 920/384 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 2600 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·3200 = 1800 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 800 + 1800 = 2600 W

Ответ

P_loss = 2600 W

КПД при этой нагрузке η = 98%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 5,25 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 7·0,75 = 5,25 kvar

Ответ

Q = 5,25 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 630,7 µF

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 20·tan(49,46°) = 23,38 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 20·tan(25,84°) = 9,686 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 13,7 kvar

Ёмкость

Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 13696/(2π·60·240²) = 630,7 µF

Ответ

C = 630,7 µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: P = 26,85 W

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 125,7 Ω, X_C = 79,58 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(40² + (46,09)²) = 61,02 Ω

Активная мощность

Катушки и конденсаторы только запасают и возвращают энергию; всю активную мощность потребляет резистор.

I = 50/61,02 = 0,8193 A

P = I²·R = 0,8193²·40 = 26,85 W

Ответ

P = 26,85 W

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 115,4 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−275,8)²) = 293,4 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/293,4 = 0,3409 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,3409·338,6 = 115,4 V

Ответ

V_C = 115,4 V

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: η = 89,02 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Мощности

P_in = 220·40 = 8800 W

P_dev = 204·40 = 8160 W

P_out = 8160 − 326 = 7834 W

КПД

η = 7834/8800·100 = 89,02 %

Ответ

η = 89,02 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_s = 18,98 Ω

Ток и противо-ЭДС

I_a = 2/0,5 = 4 A

E = 0,5·78,54 = 39,27 V

Последовательное сопротивление

R_a + R_s = (120 − 39,27)/4 = 20,18 Ω

R_s = 18,98 Ω

Ответ

R_s = 18,98 Ω

Резистор рассеивает 303,7 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems