Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 110 kW. При этой нагрузке его КПД равен 88%, а коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Линейное напряжение сети 690 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 110 kWη = 88%cos φ = 0,82V_L = 690 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 60 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 2:1 приложено 240 V. К вторичной обмотке подключён резистор 24 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 240 VR_L = 24 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 75 kVA имеет потери в стали 450 W и потери в меди 1350 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 75 kVAP_core = 450 WP_cu,fl = 1350 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 35 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 35 kWpf = 0,7V = 400 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 25 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,92. Найдите новый ток линии I_new.

P = 25 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V = 230 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 230 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 150 mH

φ = °

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 50 Ω, L = 100 mH и C = 0,22 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 50 ΩL = 100 mHC = 0,22 µF

Q =

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,25 N·m/A, R_a = 0,25 Ω) работает от 48 V и приводит нагрузку с моментом 2 N·m. Найдите его скорость n в rpm.

V = 48 Vk = 0,25 N·m/AR_a = 0,25 ΩT = 2 N·m

n = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Небольшой двигатель постоянного тока имеет сопротивление якоря 1 Ω и работает от 120 V. Пренебрегая потерями на вращение, найдите наибольшую механическую мощность P_max, которую он может развить на любой скорости.

V = 120 VR_a = 1 Ω

P_max = W

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 127,6 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 110/0,88 = 125 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 125000/(√3·690·0,82) = 127,6 A

Ответ

I_L = 127,6 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 231,2 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,7) = 60·1,02 = 61,21 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,95) = 60·0,3287 = 19,72 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 41,49 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 13830/(377·398,4²) = 231,2 µF

Ответ

C_ph = 231,2 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 2,5 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 240/2 = 120 V

I₂ = 120/24 = 5 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/2 = 2,5 A

Ответ

I₁ = 2,5 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 96 Ω, и 240/96 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 43,3 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·1350 = 450 → x = √(450/1350) = 0,5774

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,5774·75 = 43,3 kVA

Ответ

S_η,max = 43,3 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 35,71 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 35·1,02 = 35,71 kvar

Ответ

Q = 35,71 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I_new = 118,1 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 25·tan(45,57°) = 25,51 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 25·tan(23,07°) = 10,65 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 14,86 kvar

Новый ток линии

I_new = P/(V·cos φ₂) = 25000/(230·0,92) = 118,1 A

Ответ

I_new = 118,1 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 14,86 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_L = ωL = 2π·100·0,15 = 94,25 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 230/25 = 9,2 A

I_X = V/X_L = 230/94,25 = 2,44 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(9,2² + 2,44²) = 9,518 A

Угол сдвига фаз

Ток катушки отстаёт от V, поэтому общий ток отстаёт и угол положителен.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(2,44/9,2) = 14,86°

Ответ

φ = 14,86°

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 13,48

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,1·0,22·10⁻⁶)) = 1073 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,1/(0,22·10⁻⁶)) = 13,48

Ответ

Q = 13,48

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 1757 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток якоря

I_a = T/k = 2/0,25 = 8 A

Противо-ЭДС и скорость

E = 48 − 8·0,25 = 46 V

ω = E/k = 184 rad/s → n = 1757 rpm

Ответ

n = 1757 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: P_max = 3600 W

Мощность как функция противо-ЭДС

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V

Наибольшая мощность

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 120²/(4·1) = 3600 W

Ответ

P_max = 3600 W

В этой точке КПД составляет всего 50 %, поэтому реальные двигатели работают заметно выше половины скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems