Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 7,5 kW. При этой нагрузке его КПД равен 93%, а коэффициент мощности 0,86 (отстающий). Линейное напряжение сети 415 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 7,5 kWη = 93%cos φ = 0,86V_L = 415 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 250 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,95V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 20:1 приложено 4800 V. К вторичной обмотке подключён резистор 15 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 20:1V₁ = 4800 VR_L = 15 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 75 kVA имеет потери в стали 375 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,9 (отстающий) его КПД равен 97%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 75 kVAP_core = 375 Wpf = 0,9η = 97%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 9 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 9 kWpf = 0,8V = 230 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 10 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 240 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите реактивную мощность Q_C, которую должен поставлять конденсатор.

P = 10 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 50 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 22 µF

V_C = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 1 V·s/rad работает от 240 V. Пренебрегая всеми потерями на холостом ходу, найдите его скорость холостого хода n₀ в rpm.

V = 240 Vk = 1 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока (k = 1,2 V·s/rad, R_a = 0,8 Ω) при фиксированном питании 220 V приводит нагрузку 14,4 N·m. Найдите последовательное сопротивление R_s, замедляющее его до 600 rpm.

V = 220 Vk = 1,2 V·s/radR_a = 0,8 ΩT = 14,4 N·mn = 600 rpm

R_s = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 13,05 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 7,5/0,93 = 8,065 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 8065/(√3·415·0,86) = 13,05 A

Ответ

I_L = 13,05 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 1363 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,78) = 250·0,8023 = 200,6 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,95) = 250·0,3287 = 82,17 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 118,4 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 39466/(377·277,1²) = 1363 µF

Ответ

C_ph = 1363 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 0,8 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 4800/20 = 240 V

I₂ = 240/15 = 16 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/20 = 0,8 A

Ответ

I₁ = 0,8 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 6000 Ω, и 4800/6000 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 1713 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 75·0,9 = 67,5 kW

P_in = 67500/0,97 = 69588 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 69588 − 67500 = 2088 W

P_cu,fl = 2088 − 375 = 1713 W

Ответ

P_cu,fl = 1713 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 6,75 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 9·0,75 = 6,75 kvar

Ответ

Q = 6,75 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q_C = 2,657 kvar

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(36,87°) = 7,5 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(25,84°) = 4,843 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 2,657 kvar

Ответ

Q_C = 2,657 kvar

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 30,33 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 50/100 = 0,5 A

I_X = V/X_C = 50/31,83 = 1,571 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,5² + 1,571²) = 1,648 A

Полное сопротивление

|Z| = V/I = 50/1,648 = 30,33 Ω

Ответ

|Z| = 30,33 Ω

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 43,18 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (48,36)²) = 77,06 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/77,06 = 2,984 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 2,984·14,47 = 43,18 V

Ответ

V_C = 43,18 V

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n₀ = 2292 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода

ω₀ = V/k = 240/1 = 240 rad/s

n₀ = 60·240/(2π) = 2292 rpm

Ответ

n₀ = 2292 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_s = 11,25 Ω

Ток и противо-ЭДС

I_a = 14,4/1,2 = 12 A

E = 1,2·62,83 = 75,4 V

Последовательное сопротивление

R_a + R_s = (220 − 75,4)/12 = 12,05 Ω

R_s = 11,25 Ω

Ответ

R_s = 11,25 Ω

Резистор рассеивает 1620 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems