Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 55 kW. При этой нагрузке его КПД равен 94%, а коэффициент мощности 0,9 (отстающий). Линейное напряжение сети 415 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 55 kWη = 94%cos φ = 0,9V_L = 415 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 100 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 2:1 приложено 480 V. К вторичной обмотке подключён резистор 20 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 480 VR_L = 20 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 200 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,95 (отстающий) его КПД равен 96,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 25 kVAP_core = 200 Wpf = 0,95η = 96,5%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 28 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 28 kWpf = 0,8V = 230 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазный трансформатор 15 kVA питает нагрузку 5 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

S_max = 15 kVAP₁ = 5 kWpf₁ = 0,6

ΔP = kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 12 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 20 mH

φ = °

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 5 Ω, L = 20 mH и C = 0,22 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 5 ΩL = 20 mHC = 0,22 µF

B = Hz

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока потребляет 20 A от источника 220 V. Сопротивление якоря равно 0,4 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 212 W. Найдите его КПД η.

V = 220 VI_a = 20 AR_a = 0,4 ΩP_rot = 212 W

η = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения (k = 0,4 V·s/rad при полном поле, R_a = 2 Ω, V = 110 V) приводит нагрузку с постоянным моментом 1,6 N·m. Поток возбуждения уменьшают до 70 % от полного значения. Найдите новую скорость n.

V = 110 Vk = 0,4 V·s/radR_a = 2 ΩT = 1,6 N·mΦ = 70 %

n = rpm

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 90,44 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 55/0,94 = 58,51 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 58511/(√3·415·0,9) = 90,44 A

Ответ

I_L = 90,44 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 42,13 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,8) = 100·0,75 = 75 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,95) = 100·0,3287 = 32,87 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 42,13 kvar

Ответ

Q_C = 42,13 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 6 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 480/2 = 240 V

I₂ = 240/20 = 12 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/2 = 6 A

Ответ

I₁ = 6 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 80 Ω, и 480/80 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 661,4 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 25·0,95 = 23,75 kW

P_in = 23750/0,965 = 24611 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 24611 − 23750 = 861,4 W

P_cu,fl = 861,4 − 200 = 661,4 W

Ответ

P_cu,fl = 661,4 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 21 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 28·0,75 = 21 kvar

Ответ

Q = 21 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 8,437 kW

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q₁ = 5·tan(arccos 0,6) = 6,667 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = S_max, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(15² − 6,667²) = 13,44 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 13,44 − 5 = 8,437 kW

Ответ

ΔP = 8,437 kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 57,86 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_L = ωL = 2π·100·0,02 = 12,57 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 12/20 = 0,6 A

I_X = V/X_L = 12/12,57 = 0,9549 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,6² + 0,9549²) = 1,128 A

Угол сдвига фаз

Ток катушки отстаёт от V, поэтому общий ток отстаёт и угол положителен.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(0,9549/0,6) = 57,86°

Ответ

φ = 57,86°

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 39,79 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,22·10⁻⁶)) = 2399 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,02/(0,22·10⁻⁶)) = 60,3

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 2399/60,3 = 39,79 Hz

Ответ

B = 39,79 Hz

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: η = 91,55 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Мощности

P_in = 220·20 = 4400 W

P_dev = 212·20 = 4240 W

P_out = 4240 − 212 = 4028 W

КПД

η = 4028/4400·100 = 91,55 %

Ответ

η = 91,55 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 3362 rpm

Ослабленная постоянная двигателя

k₂ = 0,7·0,4 = 0,28 V·s/rad

Новый ток якоря

I_a = 1,6/0,28 = 5,714 A

Новая скорость

ω = (110 − 5,714·2)/0,28 = 352 rad/s → n = 3362 rpm

Ответ

n = 3362 rpm

Ослабление поля — способ, которым привод постоянного тока работает выше основной скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems