Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc

Метод

  1. Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
  2. Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
  3. Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
  4. Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 208 VIL​ = 40 Acos φ = 0,8отстающий

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 40 A от сети с линейным напряжением 208 V. Коэффициент мощности 0,8 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

VL = 208 VIL = 40 Acos φ = 0,8
P = kW
2.Трёхфазная мощностьСложная
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 300 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.

P = 300 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.ТрансформаторыСредняя
2 ΩN1​N2​128 Ω

Усилитель с выходным сопротивлением 128 Ω питает громкоговоритель 2 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 128 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

Rs = 128 ΩRL = 2 Ω
a =
4.ТрансформаторыСложная
pf 0,9150 kVA, 25% нагрузка

Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 750 W и потери в меди 3000 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 25% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,9 (отстающий). Найдите суммарные потери Ploss в ваттах при этой нагрузке.

S = 150 kVAPcore = 750 WPcu,fl = 3000 Wx = 0,25pf = 0,9
Ploss = W
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
P = 18 kWQ = ?Sφ

Однофазный двигатель потребляет 18 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 18 kWpf = 0,85V = 400 V
Q = kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
P = 45 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазная нагрузка потребляет 45 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 400 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,92. Найдите необходимую ёмкость C.

P = 45 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,92V = 400 Vf = 50 Hz
C = µF
7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
100 V50 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 10 µF

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 10 µF
φ = °
8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
12 Vf0​R = 5 ΩL = 10 mHC = 0,47 µF

Последовательный RLC-контур питается от источника 12 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение VL на катушке.

V = 12 V (rms)R = 5 ΩL = 10 mHC = 0,47 µF
VL = V
9.Двигатели постоянного токаСредняя
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

Двигатель постоянного тока с k = 0,75 V·s/rad работает от 48 V. Пренебрегая всеми потерями на холостом ходу, найдите его скорость холостого хода n0 в rpm.

V = 48 Vk = 0,75 V·s/rad
n0 = rpm
10.Двигатели постоянного токаСложная
+−120 VRa​ = 1 ΩM+−EωT

Небольшой двигатель постоянного тока имеет сопротивление якоря 1 Ω и работает от 120 V. Пренебрегая потерями на вращение, найдите наибольшую механическую мощность Pmax, которую он может развить на любой скорости.

V = 120 VRa = 1 Ω
Pmax = W

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 11,53 kW

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Полная мощность

S = √3·VL·IL = √3·208·40 = 14,41 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 14,41·0,8 = 11,53 kW

Ответ

P = 11,53 kW
2.Трёхфазная мощность

Ответ: Cph = 2268 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 300·tan(acos 0,75) = 300·0,8819 = 264,6 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0,92) = 300·0,426 = 127,8 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 136,8 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 45592/(377·230,9²) = 2268 µF

Ответ

Cph = 2268 µF
3.Трансформаторы

Ответ: a = 8

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·2 = 128
a = √(128/2) = √64 = 8

Ответ

a = 8
4.Трансформаторы

Ответ: Ploss = 937,5 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,0625·3000 = 187,5 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

Ploss = 750 + 187,5 = 937,5 W

Ответ

Ploss = 937,5 W

КПД при этой нагрузке η = 97,3%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 11,16 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 18·0,6197 = 11,16 kvar

Ответ

Q = 11,16 kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 812,3 µF

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(53,13°) = 60 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(23,07°) = 19,17 kvar
QC = Q1 − Q2 = 40,83 kvar

Ёмкость

Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.

C = QC/(2πf·V²) = 40830/(2π·50·400²) = 812,3 µF

Ответ

C = 812,3 µF
7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −80,62 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−302,6)²) = 306,7 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−302,6/50) = −80,62°

Ответ

φ = −80,62°
8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: VL = 350,1 V

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·0,47·10⁻⁶) = 14586 rad/s
I = V/R = 12/5 = 2,4 A

Напряжение на катушке

XL = ω₀L = 14586·0,01 = 145,9 Ω
VL = I·XL = 2,4·145,9 = 350,1 V

Ответ

VL = 350,1 V

Это в Q = 29,17 раз больше напряжения источника.

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n0 = 611,2 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода

ω₀ = V/k = 48/0,75 = 64 rad/s
n0 = 60·64/(2π) = 611,2 rpm

Ответ

n0 = 611,2 rpm
10.Двигатели постоянного тока

Ответ: Pmax = 3600 W

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.

Мощность как функция противо-ЭДС

P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V

Наибольшая мощность

Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 120²/(4·1) = 3600 W

Ответ

Pmax = 3600 W

В этой точке КПД составляет всего 50 %, поэтому реальные двигатели работают заметно выше половины скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems