Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 30 A от сети с линейным напряжением 415 V. Коэффициент мощности 0,88 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 415 VI_L = 30 Acos φ = 0,88

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 200 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 10 kVA, 11000/400 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_LV в обмотке низшего напряжения.

S = 10 kVAV₁ = 11000 VV₂ = 400 V

I_LV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 100 kVA имеет потери в стали 300 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,85 (отстающий) его КПД равен 98%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 100 kVAP_core = 300 Wpf = 0,85η = 98%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Индуктивная нагрузка потребляет 16 A и 1920 W от однофазной сети 240 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите R.

V = 240 VI = 16 AP = 1920 W

R = Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 24 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 400 V, 50 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 330 µF. Найдите новый ток линии I.

P = 24 kWpf₁ = 0,65V = 400 Vf = 50 HzC = 330 µF

I = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 100 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 50 Ω, L = 100 mH и C = 1 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 50 ΩL = 100 mHC = 1 µF

Q =

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 1,5 V·s/rad работает от 110 V. Пренебрегая всеми потерями на холостом ходу, найдите его скорость холостого хода n₀ в rpm.

V = 110 Vk = 1,5 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока с k = 2 V·s/rad и R_a = 0,5 Ω должен приводить нагрузку 30 N·m со скоростью 750 rpm. Найдите необходимое напряжение якоря V.

k = 2 V·s/radR_a = 0,5 ΩT = 30 N·mn = 750 rpm

V = V

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 18,98 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·415·30 = 21,56 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 21,56·0,88 = 18,98 kW

Ответ

P = 18,98 kW

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 1911 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,7) = 200·1,02 = 204 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,95) = 200·0,3287 = 65,74 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 138,3 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 46101/(314,2·277,1²) = 1911 µF

Ответ

C_ph = 1911 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I_LV = 25 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_LV = S/V = 10000/400 = 25 A

Ответ

I_LV = 25 A

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 1435 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 100·0,85 = 85 kW

P_in = 85000/0,98 = 86735 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 86735 − 85000 = 1735 W

P_cu,fl = 1735 − 300 = 1435 W

Ответ

P_cu,fl = 1435 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: R = 7,5 Ω

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Сопротивление по активной мощности

R = P/I² = 1920/16² = 7,5 Ω

Ответ

R = 7,5 Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 66,5 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 24·tan(arccos 0,65) = 28,06 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·50·330·10⁻⁶ = 16588 var = 16,59 kvar

Q₂ = 28,06 − 16,59 = 11,47 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(24² + 11,47²) = 26,6 kVA

Новый ток линии

I = S₂/V = 26601/400 = 66,5 A

Ответ

I = 66,5 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 46,12 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 100/80 = 1,25 A

I_X = V/X_C = 100/56,44 = 1,772 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,25² + 1,772²) = 2,168 A

Полное сопротивление

|Z| = V/I = 100/2,168 = 46,12 Ω

Ответ

|Z| = 46,12 Ω

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 6,325

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,1·1·10⁻⁶)) = 503,3 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,1/(1·10⁻⁶)) = 6,325

Ответ

Q = 6,325

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n₀ = 700,3 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода

ω₀ = V/k = 110/1,5 = 73,33 rad/s

n₀ = 60·73,33/(2π) = 700,3 rpm

Ответ

n₀ = 700,3 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: V = 164,6 V

Противо-ЭДС

E = 2·78,54 = 157,1 V

Ток якоря

I_a = 30/2 = 15 A

Напряжение якоря

V = 157,1 + 15·0,5 = 164,6 V

Ответ

V = 164,6 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems