Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 18,5 kW. При этой нагрузке его КПД равен 88%, а коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Линейное напряжение сети 480 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 18,5 kWη = 88%cos φ = 0,82V_L = 480 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 100 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 25 kVA, 7200/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_HV в обмотке высшего напряжения.

S = 25 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 250 kVA имеет потери в стали 2000 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,9 (отстающий) его КПД равен 97,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 250 kVAP_core = 2000 Wpf = 0,9η = 97,5%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 32 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 32 kWpf = 0,85V = 240 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 6 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 240 V, 60 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 33 µF. Найдите новый коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

P = 6 kWpf₁ = 0,75V = 240 Vf = 60 HzC = 33 µF

cos φ =

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 50 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 10 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите резонансную частоту f₀ цепи.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 1 N·m/A и R_a = 1,2 Ω подключён к 220 V. Найдите его момент при заторможенном роторе T_stall, то есть момент при нулевой скорости.

V = 220 Vk = 1 N·m/AR_a = 1,2 Ω

T_stall = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения (k = 0,3 V·s/rad при полном поле, R_a = 0,8 Ω, V = 48 V) приводит нагрузку с постоянным моментом 1,2 N·m. Поток возбуждения уменьшают до 75 % от полного значения. Найдите новую скорость n.

V = 48 Vk = 0,3 V·s/radR_a = 0,8 ΩT = 1,2 N·mΦ = 75 %

n = rpm

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 30,84 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 18,5/0,88 = 21,02 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 21023/(√3·480·0,82) = 30,84 A

Ответ

I_L = 30,84 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 31,8 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,78) = 100·0,8023 = 80,23 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,9) = 100·0,4843 = 48,43 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 31,8 kvar

Ответ

Q_C = 31,8 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: I_HV = 3,472 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_HV = S/V = 25000/7200 = 3,472 A

Ответ

I_HV = 3,472 A

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 3769 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 250·0,9 = 225 kW

P_in = 225000/0,975 = 230769 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 230769 − 225000 = 5769 W

P_cu,fl = 5769 − 2000 = 3769 W

Ответ

P_cu,fl = 3769 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 19,83 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 32·0,6197 = 19,83 kvar

Ответ

Q = 19,83 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,7952

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 6·tan(arccos 0,75) = 5,292 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·60·33·10⁻⁶ = 716,6 var = 0,7166 kvar

Q₂ = 5,292 − 0,7166 = 4,575 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(6² + 4,575²) = 7,545 kVA

Новый коэффициент мощности

cos φ = P/S₂ = 6/7,545 = 0,7952

Ответ

cos φ = 0,7952

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 9,54 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 50/10 = 5 A

I_X = V/X_C = 50/31,83 = 1,571 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(5² + 1,571²) = 5,241 A

Полное сопротивление

|Z| = V/I = 50/5,241 = 9,54 Ω

Ответ

|Z| = 9,54 Ω

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f₀ = 103,8 Hz

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·47·10⁻⁶)) = 103,8 Hz

Ответ

f₀ = 103,8 Hz

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T_stall = 183,3 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток при заторможенном роторе

I_a = V/R_a = 220/1,2 = 183,3 A

Момент при заторможенном роторе

T_stall = 1·183,3 = 183,3 N·m

Ответ

T_stall = 183,3 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 1856 rpm

Ослабленная постоянная двигателя

k₂ = 0,75·0,3 = 0,225 V·s/rad

Новый ток якоря

I_a = 1,2/0,225 = 5,333 A

Новая скорость

ω = (48 − 5,333·0,8)/0,225 = 194,4 rad/s → n = 1856 rpm

Ответ

n = 1856 rpm

Ослабление поля — способ, которым привод постоянного тока работает выше основной скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems