Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 37 kW. При этой нагрузке его КПД равен 93%, а коэффициент мощности 0,85 (отстающий). Линейное напряжение сети 480 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 37 kWη = 93%cos φ = 0,85V_L = 480 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 300 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 300 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 250 kVA, 4160/480 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_HV в обмотке высшего напряжения.

S = 250 kVAV₁ = 4160 VV₂ = 480 V

I_HV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 200 kVA имеет потери в стали 1600 W и потери в меди 3200 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 200 kVAP_core = 1600 WP_cu,fl = 3200 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Индуктивная нагрузка потребляет 15,5 A и 2674 W от однофазной сети 230 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите X.

V = 230 VI = 15,5 AP = 2674 W

X = Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 5 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,92. Найдите новый ток линии I_new.

P = 5 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,92V = 230 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите активную мощность P, потребляемую от источника.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

P = W

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 1 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 1 V (rms)R = 2 ΩL = 20 mHC = 10 µF

V_L = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,15 V·s/rad, R_a = 0,8 Ω) работает от 24 V. При полной нагрузке он потребляет 4 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 24 Vk = 0,15 V·s/radR_a = 0,8 ΩI_FL = 4 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Небольшой двигатель постоянного тока имеет сопротивление якоря 2 Ω и работает от 24 V. Пренебрегая потерями на вращение, найдите наибольшую механическую мощность P_max, которую он может развить на любой скорости.

V = 24 VR_a = 2 Ω

P_max = W

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 56,3 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 37/0,93 = 39,78 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 39785/(√3·480·0,85) = 56,3 A

Ответ

I_L = 56,3 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 2385 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,72) = 300·0,9639 = 289,2 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,9) = 300·0,4843 = 145,3 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 143,9 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 47953/(377·230,9²) = 2385 µF

Ответ

C_ph = 2385 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I_HV = 60,1 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_HV = S/V = 250000/4160 = 60,1 A

Ответ

I_HV = 60,1 A

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 141,4 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·3200 = 1600 → x = √(1600/3200) = 0,7071

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,7071·200 = 141,4 kVA

Ответ

S_η,max = 141,4 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: X = 9,814 Ω

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Сопротивление по активной мощности

R = P/I² = 2674/15,5² = 11,13 Ω

Реактивное сопротивление по полному

|Z| = V/I = 230/15,5 = 14,84 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(14,84² − 11,13²) = 9,814 Ω

Ответ

X = 9,814 Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I_new = 23,63 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 5·tan(53,13°) = 6,667 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 5·tan(23,07°) = 2,13 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 4,537 kvar

Новый ток линии

I_new = P/(V·cos φ₂) = 5000/(230·0,92) = 23,63 A

Ответ

I_new = 23,63 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: P = 0,05011 W

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 37,7 Ω, X_C = 564,4 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(100² + (−526,7)²) = 536,1 Ω

Активная мощность

Катушки и конденсаторы только запасают и возвращают энергию; всю активную мощность потребляет резистор.

I = 12/536,1 = 0,02238 A

P = I²·R = 0,02238²·100 = 0,05011 W

Ответ

P = 0,05011 W

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 22,36 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·10·10⁻⁶) = 2236 rad/s

I = V/R = 1/2 = 0,5 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 2236·0,02 = 44,72 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·44,72 = 22,36 V

Ответ

V_L = 22,36 V

Это в Q = 22,36 раз больше напряжения источника.

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 15,38 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·24/(2π·0,15) = 1528 rpm

n_FL = 60·(24 − 4·0,8)/(2π·0,15) = 1324 rpm

Регулирование скорости

SR = (1528 − 1324)/1324·100 = 15,38 %

Ответ

SR = 15,38 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: P_max = 72 W

Мощность как функция противо-ЭДС

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V

Наибольшая мощность

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 24²/(4·2) = 72 W

Ответ

P_max = 72 W

В этой точке КПД составляет всего 50 %, поэтому реальные двигатели работают заметно выше половины скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems