Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 12 + j16 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 400 VZ = 12 + j16 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 60 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 75 kVA, 4800/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_LV в обмотке низшего напряжения.

S = 75 kVAV₁ = 4800 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 200 W и потери в меди 500 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 50% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,85 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 25 kVAP_core = 200 WP_cu,fl = 500 Wx = 0,5pf = 0,85

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 18 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) и нагреватель мощностью 15 kW (коэффициент мощности 1). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 240 VP₁ = 18 kW, pf₁ = 0,6 отстающийP₂ = 15 kW, pf₂ = 1

cos φ =

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 17 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 400 V, 50 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 68 µF. Найдите новый ток линии I.

P = 17 kWpf₁ = 0,7V = 400 Vf = 50 HzC = 68 µF

I = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 120 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 50 mH

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 230 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 100 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока отдаёт механическую мощность 11 kW при 960 rpm. Найдите момент на валу T.

P = 11 kWn = 960 rpm

T = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока на 120 V имеет сопротивление якоря 0,5 Ω. Найдите последовательное пусковое сопротивление R_st, ограничивающее пусковой ток до 100 A.

V = 120 VR_a = 0,5 ΩI_max = 100 A

R_st = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 14,4 kW

Фазное напряжение

V_ph = V_L = 400 V

Фазный ток

|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω

I_ph = 400/20 = 20 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·20²·12 = 14,4 kW

Ответ

P = 14,4 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,6, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 177,7 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,7) = 60·1,02 = 61,21 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 32,15 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 10718/(377·400²) = 177,7 µF

Ответ

C_ph = 177,7 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I_LV = 312,5 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_LV = S/V = 75000/240 = 312,5 A

Ответ

I_LV = 312,5 A

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 325 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,25·500 = 125 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 200 + 125 = 325 W

Ответ

P_loss = 325 W

КПД при этой нагрузке η = 97,03%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,8087

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 18·tan(arccos 0,6) = 24 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Суммы

P = 18 + 15 = 33 kW

Q = 24 + 0 = 24 kvar

S = √(33² + 24²) = 40,8 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 33/40,8 = 0,8087 отстающий

Ответ

cos φ = 0,8087

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 54,94 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 17·tan(arccos 0,7) = 17,34 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·50·68·10⁻⁶ = 3418 var = 3,418 kvar

Q₂ = 17,34 − 3,418 = 13,93 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(17² + 13,93²) = 21,98 kVA

Новый ток линии

I = S₂/V = 21975/400 = 54,94 A

Ответ

I = 54,94 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 8,008 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_L = ωL = 2π·50·0,05 = 15,71 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 120/50 = 2,4 A

I_X = V/X_L = 120/15,71 = 7,639 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,4² + 7,639²) = 8,008 A

Ответ

I = 8,008 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 103,8 Ω

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 67,67 − j46,77 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 25 + 67,67 − j46,77 = 92,67 − j46,77 Ω

|Z| = √(92,67² + 46,77²) = 103,8 Ω

Ответ

|Z| = 103,8 Ω

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T = 109,4 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость в rad/s

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

Крутящий момент

T = P/ω = 11000/100,5 = 109,4 N·m

Ответ

T = 109,4 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_st = 0,7 Ω

Полное сопротивление

R_a + R_st = 120/100 = 1,2 Ω

Пусковой резистор

R_st = 1,2 − 0,5 = 0,7 Ω

Ответ

R_st = 0,7 Ω

Резистор выводят ступенями по мере разгона двигателя и роста противо-ЭДС.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems