Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 22 kW. При этой нагрузке его КПД равен 88%, а коэффициент мощности 0,85 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 22 kWη = 88%cos φ = 0,85V_L = 400 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 150 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Усилитель с выходным сопротивлением 400 Ω питает громкоговоритель 16 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 400 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

R_s = 400 ΩR_L = 16 Ω

a =

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 150 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) его КПД равен 98%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 25 kVAP_core = 150 Wpf = 0,8η = 98%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 28 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) и нагрузка 30 kW при коэффициенте мощности 0,95 (индуктивном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 240 VP₁ = 28 kW, pf₁ = 0,65 отстающийP₂ = 30 kW, pf₂ = 0,95 отстающий

cos φ =

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Источник 100 V (действующее значение), 50 Hz имеет внутреннее сопротивление Z_s = 10 + j30 Ω. Полное сопротивление нагрузки Z_L можно выбирать произвольно. Найдите наибольшую активную мощность P_max, которую можно передать нагрузке.

V_s = 100 V (rms)f = 50 HzZ_s = 10 + j30 Ω

P_max = W

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 100 µF

φ = °

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 12 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR₁ = 10 ΩR₂ = 60 ΩC = 47 µF

I = A

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,5 V·s/rad, R_a = 1,2 Ω) работает от 110 V. При полной нагрузке он потребляет 6 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 110 Vk = 0,5 V·s/radR_a = 1,2 ΩI_FL = 6 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения на 48 V (R_a = 1 Ω) вращается со скоростью 1500 rpm при токе якоря 5 A. Нагрузка изменяется, и ток становится равным 2,5 A при неизменном поле. Найдите новую скорость n₂.

V = 48 VR_a = 1 Ωn₁ = 1500 rpmI_a1 = 5 AI_a2 = 2,5 A

n₂ = rpm

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 42,45 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 22/0,88 = 25 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 25000/(√3·400·0,85) = 42,45 A

Ответ

I_L = 42,45 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 2064 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,7) = 150·1,02 = 153 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,95) = 150·0,3287 = 49,3 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 103,7 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 34576/(314,2·230,9²) = 2064 µF

Ответ

C_ph = 2064 µF

3.Трансформаторы

Ответ: a = 5

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·16 = 400

a = √(400/16) = √25 = 5

Ответ

a = 5

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 258,2 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 25·0,8 = 20 kW

P_in = 20000/0,98 = 20408 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 20408 − 20000 = 408,2 W

P_cu,fl = 408,2 − 150 = 258,2 W

Ответ

P_cu,fl = 258,2 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,806

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 28·tan(arccos 0,65) = 32,74 kvar

Q₂ = 30·tan(arccos 0,95) = 9,861 kvar

Суммы

P = 28 + 30 = 58 kW

Q = 32,74 + 9,861 = 42,6 kvar

S = √(58² + 42,6²) = 71,96 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 58/71,96 = 0,806 отстающий

Ответ

cos φ = 0,806

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: P_max = 250 W

Сопряжённое согласование

Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.

Z_L = Z_s* = 10 − j30 Ω

Наибольшая мощность

I = V_s/(2R_s) = 100/20 = 5 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 100²/(4·10) = 250 W

Ответ

P_max = 250 W

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 75,88 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (59,65)²) = 61,51 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(59,65/15) = 75,88°

Ответ

φ = 75,88°

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,2272 A

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 33,62 − j29,78 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 10 + 33,62 − j29,78 = 43,62 − j29,78 Ω

|Z| = √(43,62² + 29,78²) = 52,81 Ω

Ток

I = V/|Z| = 12/52,81 = 0,2272 A

Ответ

I = 0,2272 A

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 7,004 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·110/(2π·0,5) = 2101 rpm

n_FL = 60·(110 − 6·1,2)/(2π·0,5) = 1963 rpm

Регулирование скорости

SR = (2101 − 1963)/1963·100 = 7,004 %

Ответ

SR = 7,004 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: n₂ = 1587 rpm

Противо-ЭДС до и после

E₁ = 48 − 5·1 = 43 V

E₂ = 48 − 2,5·1 = 45,5 V

Новая скорость

n₂ = 1500·45,5/43 = 1587 rpm

Ответ

n₂ = 1587 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems