Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 45 kW. При этой нагрузке его КПД равен 91%, а коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 45 kWη = 91%cos φ = 0,82V_L = 400 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 60 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 60 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V_L = 415 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 10:1 приложено 1200 V. К вторичной обмотке подключён резистор 40 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 1200 VR_L = 40 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 100 W и потери в меди 150 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 75% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 25 kVAP_core = 100 WP_cu,fl = 150 Wx = 0,75pf = 0,8

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 21 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 21 kWpf = 0,75V = 400 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Источник 230 V (действующее значение), 50 Hz имеет внутреннее сопротивление Z_s = 2 + j30 Ω. Полное сопротивление нагрузки Z_L можно выбирать произвольно. Найдите наибольшую активную мощность P_max, которую можно передать нагрузке.

V_s = 230 V (rms)f = 50 HzZ_s = 2 + j30 Ω

P_max = W

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с C = 4,7 µF должен резонировать на частоте 2000 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.

f₀ = 2000 HzC = 4,7 µF

L = mH

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 22 µF

V_C = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,8 V·s/rad, R_a = 1 Ω) работает от 240 V. При полной нагрузке он потребляет 10 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 240 Vk = 0,8 V·s/radR_a = 1 ΩI_FL = 10 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения (k = 1,2 V·s/rad при полном поле, R_a = 0,25 Ω, V = 220 V) приводит нагрузку с постоянным моментом 36 N·m. Поток возбуждения уменьшают до 75 % от полного значения. Найдите новую скорость n.

V = 220 Vk = 1,2 V·s/radR_a = 0,25 ΩT = 36 N·mΦ = 75 %

n = rpm

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 87,04 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 45/0,91 = 49,45 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 49451/(√3·400·0,82) = 87,04 A

Ответ

I_L = 87,04 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 15,94 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,8) = 60·0,75 = 45 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 15,94 kvar

Ответ

Q_C = 15,94 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 0,3 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 1200/10 = 120 V

I₂ = 120/40 = 3 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 0,3 A

Ответ

I₁ = 0,3 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 4000 Ω, и 1200/4000 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 184,4 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·150 = 84,38 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 100 + 84,38 = 184,4 W

Ответ

P_loss = 184,4 W

КПД при этой нагрузке η = 98,79%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 18,52 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 21·0,8819 = 18,52 kvar

Ответ

Q = 18,52 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: P_max = 6613 W

Сопряжённое согласование

Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.

Z_L = Z_s* = 2 − j30 Ω

Наибольшая мощность

I = V_s/(2R_s) = 230/4 = 57,5 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 230²/(4·2) = 6613 W

Ответ

P_max = 6613 W

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: L = 1,347 mH

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·4,7·10⁻⁶) = 1,347 mH

Ответ

L = 1,347 mH

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 19,06 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−81,85)²) = 91,11 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/91,11 = 0,1317 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,1317·144,7 = 19,06 V

Ответ

V_C = 19,06 V

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 4,348 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·240/(2π·0,8) = 2865 rpm

n_FL = 60·(240 − 10·1)/(2π·0,8) = 2745 rpm

Регулирование скорости

SR = (2865 − 2745)/2745·100 = 4,348 %

Ответ

SR = 4,348 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 2228 rpm

Ослабленная постоянная двигателя

k₂ = 0,75·1,2 = 0,9 V·s/rad

Новый ток якоря

I_a = 36/0,9 = 40 A

Новая скорость

ω = (220 − 40·0,25)/0,9 = 233,3 rad/s → n = 2228 rpm

Ответ

n = 2228 rpm

Ослабление поля — способ, которым привод постоянного тока работает выше основной скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems