Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 8 + j6 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 480 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 480 VZ = 8 + j6 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 250 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,9V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 10:1 приложено 2300 V. К вторичной обмотке подключён резистор 4 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 2300 VR_L = 4 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 75 kVA имеет потери в стали 450 W и потери в меди 1800 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 75% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,9 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 75 kVAP_core = 450 WP_cu,fl = 1800 Wx = 0,75pf = 0,9

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Нагрузка с полным сопротивлением Z = 8 + j6 Ω подключена к однофазной сети 240 V (действующее значение). Найдите потребляемую ею активную мощность P.

V = 240 VZ = 8 + j6 Ω

P = W

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазный трансформатор 100 kVA питает нагрузку 33 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

S_max = 100 kVAP₁ = 33 kWpf₁ = 0,7

ΔP = kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 100 µF

φ = °

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 24 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 50 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 1,2 N·m/A и R_a = 0,2 Ω подключён к 240 V. Найдите его момент при заторможенном роторе T_stall, то есть момент при нулевой скорости.

V = 240 Vk = 1,2 N·m/AR_a = 0,2 Ω

T_stall = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Прерыватель постоянного тока питает двигатель (k = 0,1 V·s/rad, R_a = 1 Ω) от шины постоянного тока 220 V. Среднее напряжение якоря равно D·220 V. Найдите коэффициент заполнения D, при котором двигатель вращается со скоростью 300 rpm при нагрузке 0,2 N·m.

V_dc = 220 Vk = 0,1 V·s/radR_a = 1 ΩT = 0,2 N·mn = 300 rpm

D = %

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 55,3 kW

Фазное напряжение

V_ph = V_L = 480 V

Фазный ток

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω

I_ph = 480/10 = 48 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·48²·8 = 55,3 kW

Ответ

P = 55,3 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,8, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 489,7 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,78) = 250·0,8023 = 200,6 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,9) = 250·0,4843 = 121,1 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 79,49 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 26497/(314,2·415²) = 489,7 µF

Ответ

C_ph = 489,7 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 5,75 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 2300/10 = 230 V

I₂ = 230/4 = 57,5 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 5,75 A

Ответ

I₁ = 5,75 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 400 Ω, и 2300/400 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 1463 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·1800 = 1013 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 450 + 1013 = 1463 W

Ответ

P_loss = 1463 W

КПД при этой нагрузке η = 97,19%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: P = 4608 W

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω

I = V/|Z| = 240/10 = 24 A

Активная мощность

P = I²·R = 24²·8 = 4608 W

Ответ

P = 4608 W

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 61,16 kW

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q₁ = 33·tan(arccos 0,7) = 33,67 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = S_max, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(100² − 33,67²) = 94,16 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 94,16 − 33 = 61,16 kW

Ответ

ΔP = 61,16 kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 21,18 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (31)²) = 85,8 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(31/80) = 21,18°

Ответ

φ = 21,18°

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 55,49 Ω

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 3,863 − j13,35 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 50 + 3,863 − j13,35 = 53,86 − j13,35 Ω

|Z| = √(53,86² + 13,35²) = 55,49 Ω

Ответ

|Z| = 55,49 Ω

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T_stall = 1440 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток при заторможенном роторе

I_a = V/R_a = 240/0,2 = 1200 A

Момент при заторможенном роторе

T_stall = 1,2·1200 = 1440 N·m

Ответ

T_stall = 1440 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: D = 2,337 %

Необходимое напряжение якоря

V_a = 0,1·31,42 + 2·1 = 5,142 V

Коэффициент заполнения

D = 5,142/220 = 2,337 %

Ответ

D = 2,337 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems