Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 50 A от сети с линейным напряжением 480 V. Коэффициент мощности 0,88 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 480 VI_L = 50 Acos φ = 0,88

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 200 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К вторичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 6:1 подключён резистор 16 Ω. Найдите сопротивление R_1′ со стороны первичной обмотки.

N₁:N₂ = 6:1R_L = 16 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 50 kVA имеет потери в стали 150 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) его КПД равен 99%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 50 kVAP_core = 150 Wpf = 0,8η = 99%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 30 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 30 kWpf = 0,6V = 230 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Источник 24 V (действующее значение), 1000 Hz имеет внутреннее сопротивление Z_s = 50 + j5 Ω. Полное сопротивление нагрузки Z_L можно выбирать произвольно. Нагрузка для максимальной мощности составлена из резистора, соединённого последовательно с конденсатором. Найдите ёмкость C.

V_s = 24 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 50 + j5 Ω

C = µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 47 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 100 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 40 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,1 N·m/A, R_a = 1,5 Ω) работает от 24 V и приводит нагрузку с моментом 0,2 N·m. Найдите его скорость n в rpm.

V = 24 Vk = 0,1 N·m/AR_a = 1,5 ΩT = 0,2 N·m

n = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока (k = 0,2 V·s/rad, R_a = 0,5 Ω) при фиксированном питании 24 V приводит нагрузку 0,4 N·m. Найдите последовательное сопротивление R_s, замедляющее его до 400 rpm.

V = 24 Vk = 0,2 V·s/radR_a = 0,5 ΩT = 0,4 N·mn = 400 rpm

R_s = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 36,58 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·480·50 = 41,57 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 41,57·0,88 = 36,58 kW

Ответ

P = 36,58 kW

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 1248 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,78) = 200·0,8023 = 160,5 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 75,26 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 25086/(377·230,9²) = 1248 µF

Ответ

C_ph = 1248 µF

3.Трансформаторы

Ответ: R_1′ = 576 Ω

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Приведённое сопротивление

Напряжение растёт в a раз, а ток уменьшается в a раз, поэтому отношение V/I растёт в a² раз.

R_1′ = a²·R_L = 6²·16 = 576 Ω

Ответ

R_1′ = 576 Ω

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 254 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 50·0,8 = 40 kW

P_in = 40000/0,99 = 40404 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 40404 − 40000 = 404 W

P_cu,fl = 404 − 150 = 254 W

Ответ

P_cu,fl = 254 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 40 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,6) = 53,13°, tan φ = 1,333

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 30·1,333 = 40 kvar

Ответ

Q = 40 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 31,83 µF

Сопряжённое согласование

Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.

Z_L = Z_s* = 50 − j5 Ω

Ёмкость

X_C = 5 Ω → C = 1/(2π·1000·5) = 31,83 µF

Ответ

C = 31,83 µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 3,841 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−18,74)²) = 31,24 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 120/31,24 = 3,841 A

Ответ

I = 3,841 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 47,38 Ω

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 17,99 − j19,9 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 25 + 17,99 − j19,9 = 42,99 − j19,9 Ω

|Z| = √(42,99² + 19,9²) = 47,38 Ω

Ответ

|Z| = 47,38 Ω

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 2005 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток якоря

I_a = T/k = 0,2/0,1 = 2 A

Противо-ЭДС и скорость

E = 24 − 2·1,5 = 21 V

ω = E/k = 210 rad/s → n = 2005 rpm

Ответ

n = 2005 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_s = 7,311 Ω

Ток и противо-ЭДС

I_a = 0,4/0,2 = 2 A

E = 0,2·41,89 = 8,378 V

Последовательное сопротивление

R_a + R_s = (24 − 8,378)/2 = 7,811 Ω

R_s = 7,311 Ω

Ответ

R_s = 7,311 Ω

Резистор рассеивает 29,24 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems