Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 24 + j7 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 400 VZ = 24 + j7 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 100 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

К вторичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 4:1 подключён резистор 16 Ω. Найдите сопротивление R_1′ со стороны первичной обмотки.

N₁:N₂ = 4:1R_L = 16 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 50 kVA имеет потери в стали 300 W и потери в меди 900 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 50 kVAP_core = 300 WP_cu,fl = 900 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Нагрузка с полным сопротивлением Z = 12 + j16 Ω подключена к однофазной сети 240 V (действующее значение). Найдите полную мощность S.

V = 240 VZ = 12 + j16 Ω

S = VA

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 24 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 400 V, 50 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 150 µF. Найдите новый ток линии I.

P = 24 kWpf₁ = 0,75V = 400 Vf = 50 HzC = 150 µF

I = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 120 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩC = 100 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 47 µF

V_C = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 0,6 N·m/A и R_a = 1 Ω подключён к 220 V. Найдите его момент при заторможенном роторе T_stall, то есть момент при нулевой скорости.

V = 220 Vk = 0,6 N·m/AR_a = 1 Ω

T_stall = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения на 110 V (R_a = 0,8 Ω) вращается со скоростью 1500 rpm при токе якоря 6 A. Нагрузка изменяется, и ток становится равным 3 A при неизменном поле. Найдите новую скорость n₂.

V = 110 VR_a = 0,8 Ωn₁ = 1500 rpmI_a1 = 6 AI_a2 = 3 A

n₂ = rpm

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 18,43 kW

Фазное напряжение

V_ph = V_L = 400 V

Фазный ток

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω

I_ph = 400/25 = 16 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·16²·24 = 18,43 kW

Ответ

P = 18,43 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,96, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 31,8 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,78) = 100·0,8023 = 80,23 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,9) = 100·0,4843 = 48,43 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 31,8 kvar

Ответ

Q_C = 31,8 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: R_1′ = 256 Ω

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Приведённое сопротивление

Напряжение растёт в a раз, а ток уменьшается в a раз, поэтому отношение V/I растёт в a² раз.

R_1′ = a²·R_L = 4²·16 = 256 Ω

Ответ

R_1′ = 256 Ω

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 28,87 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·900 = 300 → x = √(300/900) = 0,5774

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,5774·50 = 28,87 kVA

Ответ

S_η,max = 28,87 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: S = 2880 VA

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток

|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω

I = V/|Z| = 240/20 = 12 A

Полная мощность

S = V·I = 240·12 = 2880 VA

Ответ

S = 2880 VA

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 69 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 24·tan(arccos 0,75) = 21,17 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·50·150·10⁻⁶ = 7540 var = 7,54 kvar

Q₂ = 21,17 − 7,54 = 13,63 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(24² + 13,63²) = 27,6 kVA

Новый ток линии

I = S₂/V = 27598/400 = 69 A

Ответ

I = 69 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 4,818 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 120/40 = 3 A

I_X = V/X_C = 120/31,83 = 3,77 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(3² + 3,77²) = 4,818 A

Ответ

I = 4,818 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 7,089 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (56,06)²) = 114,6 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 120/114,6 = 1,047 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 1,047·6,773 = 7,089 V

Ответ

V_C = 7,089 V

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T_stall = 132 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток при заторможенном роторе

I_a = V/R_a = 220/1 = 220 A

Момент при заторможенном роторе

T_stall = 0,6·220 = 132 N·m

Ответ

T_stall = 132 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: n₂ = 1534 rpm

Противо-ЭДС до и после

E₁ = 110 − 6·0,8 = 105,2 V

E₂ = 110 − 3·0,8 = 107,6 V

Новая скорость

n₂ = 1500·107,6/105,2 = 1534 rpm

Ответ

n₂ = 1534 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems