Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 30 kW. При этой нагрузке его КПД равен 90%, а коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Линейное напряжение сети 690 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 30 kWη = 90%cos φ = 0,82V_L = 690 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 80 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 80 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 25 kVA, 7200/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_LV в обмотке низшего напряжения.

S = 25 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 250 kVA имеет потери в стали 750 W и потери в меди 1500 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 75% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 250 kVAP_core = 750 WP_cu,fl = 1500 Wx = 0,75pf = 0,8

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Нагрузка с полным сопротивлением Z = 8 + j6 Ω подключена к однофазной сети 120 V (действующее значение). Найдите полную мощность S.

V = 120 VZ = 8 + j6 Ω

S = VA

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазный трансформатор 150 kVA питает нагрузку 82 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

S_max = 150 kVAP₁ = 82 kWpf₁ = 0,65

ΔP = kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с L = 50 mH должен резонировать на частоте 500 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f₀ = 500 HzL = 50 mH

C = µF

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 22 µF

V_C = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока потребляет 5 A от источника 120 V. Сопротивление якоря равно 1,2 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 46 W. Найдите его КПД η.

V = 120 VI_a = 5 AR_a = 1,2 ΩP_rot = 46 W

η = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Прерыватель постоянного тока питает двигатель (k = 0,5 V·s/rad, R_a = 0,8 Ω) от шины постоянного тока 220 V. Среднее напряжение якоря равно D·220 V. Найдите коэффициент заполнения D, при котором двигатель вращается со скоростью 750 rpm при нагрузке 2,5 N·m.

V_dc = 220 Vk = 0,5 V·s/radR_a = 0,8 ΩT = 2,5 N·mn = 750 rpm

D = %

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 34,01 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 30/0,9 = 33,33 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 33333/(√3·690·0,82) = 34,01 A

Ответ

I_L = 34,01 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 25,44 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,78) = 80·0,8023 = 64,18 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,9) = 80·0,4843 = 38,75 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 25,44 kvar

Ответ

Q_C = 25,44 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: I_LV = 104,2 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_LV = S/V = 25000/240 = 104,2 A

Ответ

I_LV = 104,2 A

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 1594 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·1500 = 843,8 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 750 + 843,8 = 1594 W

Ответ

P_loss = 1594 W

КПД при этой нагрузке η = 98,95%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: S = 1440 VA

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω

I = V/|Z| = 120/10 = 12 A

Полная мощность

S = V·I = 120·12 = 1440 VA

Ответ

S = 1440 VA

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 33,37 kW

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q₁ = 82·tan(arccos 0,65) = 95,87 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = S_max, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(150² − 95,87²) = 115,4 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 115,4 − 82 = 33,37 kW

Ответ

ΔP = 33,37 kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 2,026 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,05) = 2,026 µF

Ответ

C = 2,026 µF

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 6,208 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (84,74)²) = 116,5 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/116,5 = 0,08581 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,08581·72,34 = 6,208 V

Ответ

V_C = 6,208 V

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: η = 87,33 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Мощности

P_in = 120·5 = 600 W

P_dev = 114·5 = 570 W

P_out = 570 − 46 = 524 W

КПД

η = 524/600·100 = 87,33 %

Ответ

η = 87,33 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: D = 19,67 %

Необходимое напряжение якоря

V_a = 0,5·78,54 + 5·0,8 = 43,27 V

Коэффициент заполнения

D = 43,27/220 = 19,67 %

Ответ

D = 19,67 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems