Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 37 kW. При этой нагрузке его КПД равен 88%, а коэффициент мощности 0,8 (отстающий). Линейное напряжение сети 480 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 37 kWη = 88%cos φ = 0,8V_L = 480 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 300 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 300 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 25 kVA, 7200/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_LV в обмотке низшего напряжения.

S = 25 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 450 W и потери в меди 1350 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 50% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,95 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 150 kVAP_core = 450 WP_cu,fl = 1350 Wx = 0,5pf = 0,95

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 230 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 28 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) и нагреватель мощностью 13 kW (коэффициент мощности 1). Найдите общий ток I, потребляемый от сети.

V = 230 VP₁ = 28 kW, pf₁ = 0,85 отстающийP₂ = 13 kW, pf₂ = 1

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазный трансформатор 50 kVA питает нагрузку 17 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

S_max = 50 kVAP₁ = 17 kWpf₁ = 0,65

ΔP = kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 5 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 5 V (rms)R = 20 ΩL = 200 mHC = 0,22 µF

V_L = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,8 N·m/A, R_a = 2 Ω) работает от 240 V и приводит нагрузку с моментом 4 N·m. Найдите его скорость n в rpm.

V = 240 Vk = 0,8 N·m/AR_a = 2 ΩT = 4 N·m

n = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока (k = 0,4 V·s/rad, R_a = 0,5 Ω) при фиксированном питании 120 V приводит нагрузку 8 N·m. Найдите последовательное сопротивление R_s, замедляющее его до 1000 rpm.

V = 120 Vk = 0,4 V·s/radR_a = 0,5 ΩT = 8 N·mn = 1000 rpm

R_s = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 63,22 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 37/0,88 = 42,05 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 42045/(√3·480·0,8) = 63,22 A

Ответ

I_L = 63,22 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 2095 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,8) = 300·0,75 = 225 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,95) = 300·0,3287 = 98,61 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 126,4 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 42132/(377·230,9²) = 2095 µF

Ответ

C_ph = 2095 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I_LV = 104,2 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_LV = S/V = 25000/240 = 104,2 A

Ответ

I_LV = 104,2 A

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 787,5 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,25·1350 = 337,5 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 450 + 337,5 = 787,5 W

Ответ

P_loss = 787,5 W

КПД при этой нагрузке η = 98,91%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 193,6 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 28·tan(arccos 0,85) = 17,35 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Суммы

P = 28 + 13 = 41 kW

Q = 17,35 + 0 = 17,35 kvar

S = √(41² + 17,35²) = 44,52 kVA

Общий ток

I = S/V = 44521/230 = 193,6 A

Ответ

I = 193,6 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 28,88 kW

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q₁ = 17·tan(arccos 0,65) = 19,88 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = S_max, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(50² − 19,88²) = 45,88 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 45,88 − 17 = 28,88 kW

Ответ

ΔP = 28,88 kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,1639 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,15 = 47,12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·2,2·10⁻⁶) = 1447 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−1400)²) = 1403 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/1403 = 0,1639 A

Ответ

I = 0,1639 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 238,4 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·0,22·10⁻⁶) = 4767 rad/s

I = V/R = 5/20 = 0,25 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 4767·0,2 = 953,5 Ω

V_L = I·X_L = 0,25·953,5 = 238,4 V

Ответ

V_L = 238,4 V

Это в Q = 47,67 раз больше напряжения источника.

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 2745 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток якоря

I_a = T/k = 4/0,8 = 5 A

Противо-ЭДС и скорость

E = 240 − 5·2 = 230 V

ω = E/k = 287,5 rad/s → n = 2745 rpm

Ответ

n = 2745 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_s = 3,406 Ω

Ток и противо-ЭДС

I_a = 8/0,4 = 20 A

E = 0,4·104,7 = 41,89 V

Последовательное сопротивление

R_a + R_s = (120 − 41,89)/20 = 3,906 Ω

R_s = 3,406 Ω

Ответ

R_s = 3,406 Ω

Резистор рассеивает 1362 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems