Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 18,5 kW. При этой нагрузке его КПД равен 91%, а коэффициент мощности 0,88 (отстающий). Линейное напряжение сети 415 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 18,5 kWη = 91%cos φ = 0,88V_L = 415 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 250 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 2:1 приложено 240 V. К вторичной обмотке подключён резистор 20 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 240 VR_L = 20 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 1500 W и потери в меди 3000 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 75% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,85 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 500 kVAP_core = 1500 WP_cu,fl = 3000 Wx = 0,75pf = 0,85

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 230 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 13 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) и нагрузка 22 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном). Найдите общий ток I, потребляемый от сети.

V = 230 VP₁ = 13 kW, pf₁ = 0,65 отстающийP₂ = 22 kW, pf₂ = 0,85 отстающий

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 15 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 240 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,98. Найдите новый ток линии I_new.

P = 15 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,98V = 240 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 10 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 24 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 40 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 0,6 V·s/rad работает от 120 V. Пренебрегая всеми потерями на холостом ходу, найдите его скорость холостого хода n₀ в rpm.

V = 120 Vk = 0,6 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Небольшой двигатель постоянного тока имеет сопротивление якоря 1,2 Ω и работает от 48 V. Пренебрегая потерями на вращение, найдите наибольшую механическую мощность P_max, которую он может развить на любой скорости.

V = 48 VR_a = 1,2 Ω

P_max = W

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 32,14 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 18,5/0,91 = 20,33 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 20330/(√3·415·0,88) = 32,14 A

Ответ

I_L = 32,14 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 221,5 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,75) = 250·0,8819 = 220,5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,9) = 250·0,4843 = 121,1 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 99,4 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 33133/(314,2·690²) = 221,5 µF

Ответ

C_ph = 221,5 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 3 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 240/2 = 120 V

I₂ = 120/20 = 6 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/2 = 3 A

Ответ

I₁ = 3 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 80 Ω, и 240/80 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 3188 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·3000 = 1688 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 1500 + 1688 = 3188 W

Ответ

P_loss = 3188 W

КПД при этой нагрузке η = 99,01%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 197,2 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 13·tan(arccos 0,65) = 15,2 kvar

Q₂ = 22·tan(arccos 0,85) = 13,63 kvar

Суммы

P = 13 + 22 = 35 kW

Q = 15,2 + 13,63 = 28,83 kvar

S = √(35² + 28,83²) = 45,35 kVA

Общий ток

I = S/V = 45347/230 = 197,2 A

Ответ

I = 197,2 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I_new = 63,78 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(53,13°) = 20 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(11,48°) = 3,046 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 16,95 kvar

Новый ток линии

I_new = P/(V·cos φ₂) = 15000/(240·0,98) = 63,78 A

Ответ

I_new = 63,78 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,0466 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−208,7)²) = 214,6 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/214,6 = 0,0466 A

Ответ

I = 0,0466 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 42,89 Ω

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 17,99 − j19,9 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 20 + 17,99 − j19,9 = 37,99 − j19,9 Ω

|Z| = √(37,99² + 19,9²) = 42,89 Ω

Ответ

|Z| = 42,89 Ω

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n₀ = 1910 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода

ω₀ = V/k = 120/0,6 = 200 rad/s

n₀ = 60·200/(2π) = 1910 rpm

Ответ

n₀ = 1910 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: P_max = 480 W

Мощность как функция противо-ЭДС

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V

Наибольшая мощность

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 48²/(4·1,2) = 480 W

Ответ

P_max = 480 W

В этой точке КПД составляет всего 50 %, поэтому реальные двигатели работают заметно выше половины скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems