Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 5 + j12 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 415 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 415 VZ = 5 + j12 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 200 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,98V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 20:1 приложено 4600 V. К вторичной обмотке подключён резистор 12 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 20:1V₁ = 4600 VR_L = 12 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 75 kVA имеет потери в стали 600 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,9 (отстающий) его КПД равен 97,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 75 kVAP_core = 600 Wpf = 0,9η = 97,5%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 40 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите ток линии I.

P = 40 kWpf = 0,85V = 240 V

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 10 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 330 µF. Найдите новый ток линии I.

P = 10 kWpf₁ = 0,65V = 230 Vf = 60 HzC = 330 µF

I = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 15 Ω, L = 10 mH и C = 0,01 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 15 ΩL = 10 mHC = 0,01 µF

B = Hz

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 0,75 N·m/A и R_a = 2 Ω подключён к 48 V. Найдите его момент при заторможенном роторе T_stall, то есть момент при нулевой скорости.

V = 48 Vk = 0,75 N·m/AR_a = 2 Ω

T_stall = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока с k = 1,2 V·s/rad и R_a = 2 Ω должен приводить нагрузку 7,2 N·m со скоростью 600 rpm. Найдите необходимое напряжение якоря V.

k = 1,2 V·s/radR_a = 2 ΩT = 7,2 N·mn = 600 rpm

V = V

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 15,29 kW

Фазное напряжение

V_ph = V_L = 415 V

Фазный ток

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω

I_ph = 415/13 = 31,92 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·31,92²·5 = 15,29 kW

Ответ

P = 15,29 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,3846, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 459,9 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,78) = 200·0,8023 = 160,5 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,98) = 200·0,2031 = 40,61 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 119,8 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 39948/(377·480²) = 459,9 µF

Ответ

C_ph = 459,9 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 0,9583 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 4600/20 = 230 V

I₂ = 230/12 = 19,17 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/20 = 0,9583 A

Ответ

I₁ = 0,9583 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 4800 Ω, и 4600/4800 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 1131 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 75·0,9 = 67,5 kW

P_in = 67500/0,975 = 69231 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 69231 − 67500 = 1731 W

P_cu,fl = 1731 − 600 = 1131 W

Ответ

P_cu,fl = 1131 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 196,1 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток линии

Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.

I = P/(V·cos φ) = 40000/(240·0,85) = 196,1 A

Ответ

I = 196,1 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 48,83 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 10·tan(arccos 0,65) = 11,69 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·60·330·10⁻⁶ = 6581 var = 6,581 kvar

Q₂ = 11,69 − 6,581 = 5,11 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(10² + 5,11²) = 11,23 kVA

Новый ток линии

I = S₂/V = 11230/230 = 48,83 A

Ответ

I = 48,83 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,2492 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (26,66)²) = 40,13 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/40,13 = 0,2492 A

Ответ

I = 0,2492 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 238,7 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,01·0,01·10⁻⁶)) = 15915 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,01/(0,01·10⁻⁶)) = 66,67

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 15915/66,67 = 238,7 Hz

Ответ

B = 238,7 Hz

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T_stall = 18 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток при заторможенном роторе

I_a = V/R_a = 48/2 = 24 A

Момент при заторможенном роторе

T_stall = 0,75·24 = 18 N·m

Ответ

T_stall = 18 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: V = 87,4 V

Противо-ЭДС

E = 1,2·62,83 = 75,4 V

Ток якоря

I_a = 7,2/1,2 = 6 A

Напряжение якоря

V = 75,4 + 6·2 = 87,4 V

Ответ

V = 87,4 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems