Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 18,5 kW. При этой нагрузке его КПД равен 94%, а коэффициент мощности 0,9 (отстающий). Линейное напряжение сети 415 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 18,5 kWη = 94%cos φ = 0,9V_L = 415 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К вторичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 8:1 подключён резистор 75 Ω. Найдите сопротивление R_1′ со стороны первичной обмотки.

N₁:N₂ = 8:1R_L = 75 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 50 kVA имеет потери в стали 150 W и потери в меди 450 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 25% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,9 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 50 kVAP_core = 150 WP_cu,fl = 450 Wx = 0,25pf = 0,9

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Индуктивная нагрузка потребляет 11,5 A и 2208 W от однофазной сети 240 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите X.

V = 240 VI = 11,5 AP = 2208 W

X = Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 10 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 240 V, 50 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 68 µF. Найдите новый ток линии I.

P = 10 kWpf₁ = 0,8V = 240 Vf = 50 HzC = 68 µF

I = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 10 µF

cos φ =

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 230 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR₁ = 10 ΩR₂ = 100 ΩC = 22 µF

I = A

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока отдаёт механическую мощность 11 kW при 1800 rpm. Найдите момент на валу T.

P = 11 kWn = 1800 rpm

T = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока на 48 V имеет сопротивление якоря 0,4 Ω. Найдите последовательное пусковое сопротивление R_st, ограничивающее пусковой ток до 10 A.

V = 48 VR_a = 0,4 ΩI_max = 10 A

R_st = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 30,42 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 18,5/0,94 = 19,68 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 19681/(√3·415·0,9) = 30,42 A

Ответ

I_L = 30,42 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 210,7 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,75) = 75·0,8819 = 66,14 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,92) = 75·0,426 = 31,95 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 34,19 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 11398/(314,2·415²) = 210,7 µF

Ответ

C_ph = 210,7 µF

3.Трансформаторы

Ответ: R_1′ = 4800 Ω

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Приведённое сопротивление

Напряжение растёт в a раз, а ток уменьшается в a раз, поэтому отношение V/I растёт в a² раз.

R_1′ = a²·R_L = 8²·75 = 4800 Ω

Ответ

R_1′ = 4800 Ω

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 178,1 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,0625·450 = 28,13 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 150 + 28,13 = 178,1 W

Ответ

P_loss = 178,1 W

КПД при этой нагрузке η = 98,44%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: X = 12,52 Ω

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Сопротивление по активной мощности

R = P/I² = 2208/11,5² = 16,7 Ω

Реактивное сопротивление по полному

|Z| = V/I = 240/11,5 = 20,87 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(20,87² − 16,7²) = 12,52 Ω

Ответ

X = 12,52 Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 49,18 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 10·tan(arccos 0,8) = 7,5 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·50·68·10⁻⁶ = 1230 var = 1,23 kvar

Q₂ = 7,5 − 1,23 = 6,27 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(10² + 6,27²) = 11,8 kVA

Новый ток линии

I = S₂/V = 11803/240 = 49,18 A

Ответ

I = 49,18 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,9482

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 125,7 Ω, X_C = 159,2 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(100² + (−33,49)²) = 105,5 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 100/105,5 = 0,9482

Цепь ёмкостная, поэтому коэффициент мощности опережающий.

Ответ

cos φ = 0,9482

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 3,539 A

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 34,36 − j47,49 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 10 + 34,36 − j47,49 = 44,36 − j47,49 Ω

|Z| = √(44,36² + 47,49²) = 64,98 Ω

Ток

I = V/|Z| = 230/64,98 = 3,539 A

Ответ

I = 3,539 A

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T = 58,36 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость в rad/s

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

Крутящий момент

T = P/ω = 11000/188,5 = 58,36 N·m

Ответ

T = 58,36 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_st = 4,4 Ω

Полное сопротивление

R_a + R_st = 48/10 = 4,8 Ω

Пусковой резистор

R_st = 4,8 − 0,4 = 4,4 Ω

Ответ

R_st = 4,4 Ω

Резистор выводят ступенями по мере разгона двигателя и роста противо-ЭДС.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems