Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 7 + j24 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 208 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 208 VZ = 7 + j24 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 150 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 50 kVA, 4800/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_LV в обмотке низшего напряжения.

S = 50 kVAV₁ = 4800 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 4000 W и потери в меди 10000 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 500 kVAP_core = 4000 WP_cu,fl = 10000 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 29 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите ток линии I.

P = 29 kWpf = 0,65V = 240 V

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Источник 100 V (действующее значение), 50 Hz имеет внутреннее сопротивление Z_s = 10 + j20 Ω. Полное сопротивление нагрузки Z_L можно выбирать произвольно. Найдите наибольшую активную мощность P_max, которую можно передать нагрузке.

V_s = 100 V (rms)f = 50 HzZ_s = 10 + j20 Ω

P_max = W

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 10 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 50 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩC = 4,7 µF

I = A

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,6 V·s/rad, R_a = 1,2 Ω) работает от 48 V. При полной нагрузке он потребляет 4 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 48 Vk = 0,6 V·s/radR_a = 1,2 ΩI_FL = 4 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения на 48 V (R_a = 1,2 Ω) вращается со скоростью 1800 rpm при токе якоря 5 A. Нагрузка изменяется, и ток становится равным 2,5 A при неизменном поле. Найдите новую скорость n₂.

V = 48 VR_a = 1,2 Ωn₁ = 1800 rpmI_a1 = 5 AI_a2 = 2,5 A

n₂ = rpm

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 1,454 kW

Фазное напряжение

V_ph = V_L = 208 V

Фазный ток

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I_ph = 208/25 = 8,32 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·8,32²·7 = 1,454 kW

Ответ

P = 1,454 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,28, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 248,4 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,65) = 150·1,169 = 175,4 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,92) = 150·0,426 = 63,9 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 111,5 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 37157/(314,2·690²) = 248,4 µF

Ответ

C_ph = 248,4 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I_LV = 208,3 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_LV = S/V = 50000/240 = 208,3 A

Ответ

I_LV = 208,3 A

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 316,2 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·10000 = 4000 → x = √(4000/10000) = 0,6325

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,6325·500 = 316,2 kVA

Ответ

S_η,max = 316,2 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 185,9 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток линии

Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.

I = P/(V·cos φ) = 29000/(240·0,65) = 185,9 A

Ответ

I = 185,9 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: P_max = 250 W

Сопряжённое согласование

Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.

Z_L = Z_s* = 10 − j20 Ω

Наибольшая мощность

I = V_s/(2R_s) = 100/20 = 5 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 100²/(4·10) = 250 W

Ответ

P_max = 250 W

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,03952 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−302,6)²) = 303,6 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/303,6 = 0,03952 A

Ответ

I = 0,03952 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 1,077 A

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 25,08 − j11,11 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 20 + 25,08 − j11,11 = 45,08 − j11,11 Ω

|Z| = √(45,08² + 11,11²) = 46,43 Ω

Ток

I = V/|Z| = 50/46,43 = 1,077 A

Ответ

I = 1,077 A

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 11,11 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·48/(2π·0,6) = 763,9 rpm

n_FL = 60·(48 − 4·1,2)/(2π·0,6) = 687,5 rpm

Регулирование скорости

SR = (763,9 − 687,5)/687,5·100 = 11,11 %

Ответ

SR = 11,11 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: n₂ = 1929 rpm

Противо-ЭДС до и после

E₁ = 48 − 5·1,2 = 42 V

E₂ = 48 − 2,5·1,2 = 45 V

Новая скорость

n₂ = 1800·45/42 = 1929 rpm

Ответ

n₂ = 1929 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems