Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 75 kW. При этой нагрузке его КПД равен 93%, а коэффициент мощности 0,84 (отстающий). Линейное напряжение сети 415 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 75 kWη = 93%cos φ = 0,84V_L = 415 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,95V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Усилитель с выходным сопротивлением 125 Ω питает громкоговоритель 5 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 125 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

R_s = 125 ΩR_L = 5 Ω

a =

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 450 W и потери в меди 1125 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 150 kVAP_core = 450 WP_cu,fl = 1125 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 19 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) и нагреватель мощностью 27 kW (коэффициент мощности 1). Найдите общий ток I, потребляемый от сети.

V = 240 VP₁ = 19 kW, pf₁ = 0,7 отстающийP₂ = 27 kW, pf₂ = 1

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 5 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 230 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,92. Найдите новый ток линии I_new.

P = 5 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V = 230 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с L = 20 mH должен резонировать на частоте 5000 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f₀ = 5000 HzL = 20 mH

C = µF

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 5 Ω, L = 20 mH и C = 0,22 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 5 ΩL = 20 mHC = 0,22 µF

B = Hz

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 0,6 V·s/rad работает от 120 V. Пренебрегая всеми потерями на холостом ходу, найдите его скорость холостого хода n₀ в rpm.

V = 120 Vk = 0,6 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Прерыватель постоянного тока питает двигатель (k = 0,8 V·s/rad, R_a = 1,2 Ω) от шины постоянного тока 240 V. Среднее напряжение якоря равно D·240 V. Найдите коэффициент заполнения D, при котором двигатель вращается со скоростью 400 rpm при нагрузке 6,4 N·m.

V_dc = 240 Vk = 0,8 V·s/radR_a = 1,2 ΩT = 6,4 N·mn = 400 rpm

D = %

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 133,6 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 75/0,93 = 80,65 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 80645/(√3·415·0,84) = 133,6 A

Ответ

I_L = 133,6 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 243,8 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,72) = 100·0,9639 = 96,39 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,95) = 100·0,3287 = 32,87 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 63,52 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 21172/(377·480²) = 243,8 µF

Ответ

C_ph = 243,8 µF

3.Трансформаторы

Ответ: a = 5

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·5 = 125

a = √(125/5) = √25 = 5

Ответ

a = 5

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 94,87 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·1125 = 450 → x = √(450/1125) = 0,6325

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,6325·150 = 94,87 kVA

Ответ

S_η,max = 94,87 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 208 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 19·tan(arccos 0,7) = 19,38 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Суммы

P = 19 + 27 = 46 kW

Q = 19,38 + 0 = 19,38 kvar

S = √(46² + 19,38²) = 49,92 kVA

Общий ток

I = S/V = 49917/240 = 208 A

Ответ

I = 208 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I_new = 23,63 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 5·tan(49,46°) = 5,846 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 5·tan(23,07°) = 2,13 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 3,716 kvar

Новый ток линии

I_new = P/(V·cos φ₂) = 5000/(230·0,92) = 23,63 A

Ответ

I_new = 23,63 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 0,05066 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0,02) = 0,05066 µF

Ответ

C = 0,05066 µF

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 39,79 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,22·10⁻⁶)) = 2399 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,02/(0,22·10⁻⁶)) = 60,3

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 2399/60,3 = 39,79 Hz

Ответ

B = 39,79 Hz

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n₀ = 1910 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода

ω₀ = V/k = 120/0,6 = 200 rad/s

n₀ = 60·200/(2π) = 1910 rpm

Ответ

n₀ = 1910 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: D = 17,96 %

Необходимое напряжение якоря

V_a = 0,8·41,89 + 8·1,2 = 43,11 V

Коэффициент заполнения

D = 43,11/240 = 17,96 %

Ответ

D = 17,96 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems