Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 37 kW. При этой нагрузке его КПД равен 91%, а коэффициент мощности 0,9 (отстающий). Линейное напряжение сети 415 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 37 kWη = 91%cos φ = 0,9V_L = 415 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 20:1 приложено 2400 V. К вторичной обмотке подключён резистор 12 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 20:1V₁ = 2400 VR_L = 12 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 150 W и потери в меди 300 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 75% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 25 kVAP_core = 150 WP_cu,fl = 300 Wx = 0,75pf = 0,8

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 230 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 16 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) и нагрузка 12 kW при коэффициенте мощности 0,95 (ёмкостном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 230 VP₁ = 16 kW, pf₁ = 0,7 отстающийP₂ = 12 kW, pf₂ = 0,95 опережающий

cos φ =

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 45 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 240 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите реактивную мощность Q_C, которую должен поставлять конденсатор.

P = 45 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с L = 5 mH должен резонировать на частоте 50 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f₀ = 50 HzL = 5 mH

C = µF

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 10 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 10 V (rms)R = 15 ΩL = 200 mHC = 10 µF

V_L = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 0,6 V·s/rad работает от 48 V. Пренебрегая всеми потерями на холостом ходу, найдите его скорость холостого хода n₀ в rpm.

V = 48 Vk = 0,6 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения (k = 0,2 V·s/rad при полном поле, R_a = 2 Ω, V = 48 V) приводит нагрузку с постоянным моментом 0,4 N·m. Поток возбуждения уменьшают до 70 % от полного значения. Найдите новую скорость n.

V = 48 Vk = 0,2 V·s/radR_a = 2 ΩT = 0,4 N·mΦ = 70 %

n = rpm

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 62,85 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 37/0,91 = 40,66 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 40659/(√3·415·0,9) = 62,85 A

Ответ

I_L = 62,85 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 231,2 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,7) = 50·1,02 = 51,01 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,95) = 50·0,3287 = 16,43 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 34,58 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 11525/(314,2·398,4²) = 231,2 µF

Ответ

C_ph = 231,2 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 0,5 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 2400/20 = 120 V

I₂ = 120/12 = 10 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/20 = 0,5 A

Ответ

I₁ = 0,5 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 4800 Ω, и 2400/4800 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 318,8 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·300 = 168,8 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 150 + 168,8 = 318,8 W

Ответ

P_loss = 318,8 W

КПД при этой нагрузке η = 97,92%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,9146

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 16·tan(arccos 0,7) = 16,32 kvar

Q₂ = −12·tan(arccos 0,95) = −3,944 kvar

Суммы

P = 16 + 12 = 28 kW

Q = 16,32 + (−3,944) = 12,38 kvar

S = √(28² + 12,38²) = 30,61 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 28/30,61 = 0,9146 отстающий

Ответ

cos φ = 0,9146

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q_C = 17,89 kvar

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 45·tan(41,41°) = 39,69 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 45·tan(25,84°) = 21,79 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 17,89 kvar

Ответ

Q_C = 17,89 kvar

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 2026 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314,2²·0,005) = 2026 µF

Ответ

C = 2026 µF

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 94,28 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·10·10⁻⁶) = 707,1 rad/s

I = V/R = 10/15 = 0,6667 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 707,1·0,2 = 141,4 Ω

V_L = I·X_L = 0,6667·141,4 = 94,28 V

Ответ

V_L = 94,28 V

Это в Q = 9,428 раз больше напряжения источника.

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n₀ = 763,9 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода

ω₀ = V/k = 48/0,6 = 80 rad/s

n₀ = 60·80/(2π) = 763,9 rpm

Ответ

n₀ = 763,9 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 2884 rpm

Ослабленная постоянная двигателя

k₂ = 0,7·0,2 = 0,14 V·s/rad

Новый ток якоря

I_a = 0,4/0,14 = 2,857 A

Новая скорость

ω = (48 − 2,857·2)/0,14 = 302 rad/s → n = 2884 rpm

Ответ

n = 2884 rpm

Ослабление поля — способ, которым привод постоянного тока работает выше основной скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems