Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 50 A от сети с линейным напряжением 415 V. Коэффициент мощности 0,88 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 415 VI_L = 50 Acos φ = 0,88

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 250 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 250 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 150 kVA, 11000/400 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_LV в обмотке низшего напряжения.

S = 150 kVAV₁ = 11000 VV₂ = 400 V

I_LV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 2000 W и потери в меди 4000 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 75% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,95 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 500 kVAP_core = 2000 WP_cu,fl = 4000 Wx = 0,75pf = 0,95

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Нагрузка с полным сопротивлением Z = 8 + j6 Ω подключена к однофазной сети 240 V (действующее значение). Найдите потребляемую ею реактивную мощность Q.

V = 240 VZ = 8 + j6 Ω

Q = var

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 5 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 240 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,98. Найдите реактивную мощность Q_C, которую должен поставлять конденсатор.

P = 5 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,98V = 240 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 100 µF

cos φ =

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 5 Ω, L = 200 mH и C = 0,47 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 5 ΩL = 200 mHC = 0,47 µF

Q =

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,08 V·s/rad, R_a = 0,25 Ω) работает от 24 V. При полной нагрузке он потребляет 10 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 24 Vk = 0,08 V·s/radR_a = 0,25 ΩI_FL = 10 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения (k = 1 V·s/rad при полном поле, R_a = 0,25 Ω, V = 120 V) приводит нагрузку с постоянным моментом 40 N·m. Поток возбуждения уменьшают до 80 % от полного значения. Найдите новую скорость n.

V = 120 Vk = 1 V·s/radR_a = 0,25 ΩT = 40 N·mΦ = 80 %

n = rpm

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 31,63 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·415·50 = 35,94 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 35,94·0,88 = 31,63 kW

Ответ

P = 31,63 kW

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 114 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,75) = 250·0,8819 = 220,5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,92) = 250·0,426 = 106,5 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 114 kvar

Ответ

Q_C = 114 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: I_LV = 375 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_LV = S/V = 150000/400 = 375 A

Ответ

I_LV = 375 A

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 4250 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·4000 = 2250 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 2000 + 2250 = 4250 W

Ответ

P_loss = 4250 W

КПД при этой нагрузке η = 98,82%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 3456 var

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω

I = V/|Z| = 240/10 = 24 A

Реактивная мощность

Q = I²·X = 24²·6 = 3456 var

Ответ

Q = 3456 var

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q_C = 5,651 kvar

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 5·tan(53,13°) = 6,667 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 5·tan(11,48°) = 1,015 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 5,651 kvar

Ответ

Q_C = 5,651 kvar

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,7904

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 62,83 Ω, X_C = 31,83 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(40² + (31)²) = 50,61 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 40/50,61 = 0,7904

Цепь индуктивная, поэтому коэффициент мощности отстающий.

Ответ

cos φ = 0,7904

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 130,5

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,2·0,47·10⁻⁶)) = 519,1 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,2/(0,47·10⁻⁶)) = 130,5

Ответ

Q = 130,5

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 11,63 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·24/(2π·0,08) = 2865 rpm

n_FL = 60·(24 − 10·0,25)/(2π·0,08) = 2566 rpm

Регулирование скорости

SR = (2865 − 2566)/2566·100 = 11,63 %

Ответ

SR = 11,63 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 1283 rpm

Ослабленная постоянная двигателя

k₂ = 0,8·1 = 0,8 V·s/rad

Новый ток якоря

I_a = 40/0,8 = 50 A

Новая скорость

ω = (120 − 50·0,25)/0,8 = 134,4 rad/s → n = 1283 rpm

Ответ

n = 1283 rpm

Ослабление поля — способ, которым привод постоянного тока работает выше основной скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems