Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 12 A от сети с линейным напряжением 208 V. Коэффициент мощности 0,9 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 208 VI_L = 12 Acos φ = 0,9

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 200 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 4:1 приложено 480 V. К вторичной обмотке подключён резистор 30 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 480 VR_L = 30 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 900 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,95 (отстающий) его КПД равен 99%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 150 kVAP_core = 900 Wpf = 0,95η = 99%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 18 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 18 kWpf = 0,6V = 400 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазный трансформатор 75 kVA питает нагрузку 30 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

S_max = 75 kVAP₁ = 30 kWpf₁ = 0,6

ΔP = kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 250 mHC = 100 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 5 Ω, L = 20 mH и C = 1 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 5 ΩL = 20 mHC = 1 µF

B = Hz

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 1,5 V·s/rad, R_a = 1,2 Ω) работает от 240 V. При полной нагрузке он потребляет 25 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 240 Vk = 1,5 V·s/radR_a = 1,2 ΩI_FL = 25 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока с k = 0,3 V·s/rad и R_a = 0,5 Ω должен приводить нагрузку 2,4 N·m со скоростью 300 rpm. Найдите необходимое напряжение якоря V.

k = 0,3 V·s/radR_a = 0,5 ΩT = 2,4 N·mn = 300 rpm

V = V

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 3,891 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·208·12 = 4,323 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 4,323·0,9 = 3,891 kW

Ответ

P = 3,891 kW

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 895,3 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,8) = 200·0,75 = 150 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 64,8 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 21600/(314,2·277,1²) = 895,3 µF

Ответ

C_ph = 895,3 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 1 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 480/4 = 120 V

I₂ = 120/30 = 4 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/4 = 1 A

Ответ

I₁ = 1 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 480 Ω, и 480/480 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 539,4 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 150·0,95 = 142,5 kW

P_in = 142500/0,99 = 143939 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 143939 − 142500 = 1439 W

P_cu,fl = 1439 − 900 = 539,4 W

Ответ

P_cu,fl = 539,4 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 24 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,6) = 53,13°, tan φ = 1,333

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 18·1,333 = 24 kvar

Ответ

Q = 24 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 33,44 kW

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q₁ = 30·tan(arccos 0,6) = 40 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = S_max, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(75² − 40²) = 63,44 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 63,44 − 30 = 33,44 kW

Ответ

ΔP = 33,44 kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,5024 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (46,71)²) = 47,77 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 24/47,77 = 0,5024 A

Ответ

I = 0,5024 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 39,79 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,02·1·10⁻⁶)) = 1125 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,02/(1·10⁻⁶)) = 28,28

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 1125/28,28 = 39,79 Hz

Ответ

B = 39,79 Hz

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 14,29 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·240/(2π·1,5) = 1528 rpm

n_FL = 60·(240 − 25·1,2)/(2π·1,5) = 1337 rpm

Регулирование скорости

SR = (1528 − 1337)/1337·100 = 14,29 %

Ответ

SR = 14,29 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: V = 13,42 V

Противо-ЭДС

E = 0,3·31,42 = 9,425 V

Ток якоря

I_a = 2,4/0,3 = 8 A

Напряжение якоря

V = 9,425 + 8·0,5 = 13,42 V

Ответ

V = 13,42 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems