Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 24 + j18 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 480 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 480 VZ = 24 + j18 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 200 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 200 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,95V_L = 480 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 10:1 приложено 2400 V. К вторичной обмотке подключён резистор 20 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 2400 VR_L = 20 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 250 kVA имеет потери в стали 2000 W и потери в меди 8000 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 250 kVAP_core = 2000 WP_cu,fl = 8000 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Индуктивная нагрузка потребляет 11,5 A и 1984 W от однофазной сети 230 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите R.

V = 230 VI = 11,5 AP = 1984 W

R = Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 2 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 230 V, 50 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 68 µF. Найдите новый коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

P = 2 kWpf₁ = 0,65V = 230 Vf = 50 HzC = 68 µF

cos φ =

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 1000 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

φ = °

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 10 Ω, L = 5 mH и C = 0,047 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 10 ΩL = 5 mHC = 0,047 µF

Q =

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока отдаёт механическую мощность 15 kW при 1000 rpm. Найдите момент на валу T.

P = 15 kWn = 1000 rpm

T = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока (k = 0,75 V·s/rad, R_a = 1,5 Ω) при фиксированном питании 240 V приводит нагрузку 6 N·m. Найдите последовательное сопротивление R_s, замедляющее его до 600 rpm.

V = 240 Vk = 0,75 V·s/radR_a = 1,5 ΩT = 6 N·mn = 600 rpm

R_s = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 6,144 kW

Фазное напряжение

V_ph = 480/√3 = 277,1 V

Фазный ток

|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω

I_ph = 277,1/30 = 9,238 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·9,238²·24 = 6,144 kW

Ответ

P = 6,144 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,8, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 127 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,72) = 200·0,9639 = 192,8 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,95) = 200·0,3287 = 65,74 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 127 kvar

Ответ

Q_C = 127 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 1,2 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 2400/10 = 240 V

I₂ = 240/20 = 12 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 1,2 A

Ответ

I₁ = 1,2 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 2000 Ω, и 2400/2000 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 125 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·8000 = 2000 → x = √(2000/8000) = 0,5

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,5·250 = 125 kVA

Ответ

S_η,max = 125 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: R = 15 Ω

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Сопротивление по активной мощности

R = P/I² = 1984/11,5² = 15 Ω

Ответ

R = 15 Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,8559

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 2·tan(arccos 0,65) = 2,338 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·50·68·10⁻⁶ = 1130 var = 1,13 kvar

Q₂ = 2,338 − 1,13 = 1,208 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(2² + 1,208²) = 2,337 kVA

Новый коэффициент мощности

cos φ = P/S₂ = 2/2,337 = 0,8559

Ответ

cos φ = 0,8559

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 28,07 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (53,32)²) = 113,3 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(53,32/100) = 28,07°

Ответ

φ = 28,07°

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 32,62

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,005·0,047·10⁻⁶)) = 10382 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,005/(0,047·10⁻⁶)) = 32,62

Ответ

Q = 32,62

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T = 143,2 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость в rad/s

ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

Крутящий момент

T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Ответ

T = 143,2 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_s = 22,61 Ω

Ток и противо-ЭДС

I_a = 6/0,75 = 8 A

E = 0,75·62,83 = 47,12 V

Последовательное сопротивление

R_a + R_s = (240 − 47,12)/8 = 24,11 Ω

R_s = 22,61 Ω

Ответ

R_s = 22,61 Ω

Резистор рассеивает 1447 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems