Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 11 kW. При этой нагрузке его КПД равен 93%, а коэффициент мощности 0,88 (отстающий). Линейное напряжение сети 480 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 11 kWη = 93%cos φ = 0,88V_L = 480 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Усилитель с выходным сопротивлением 1600 Ω питает громкоговоритель 16 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 1600 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

R_s = 1600 ΩR_L = 16 Ω

a =

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 2500 W и потери в меди 3750 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 500 kVAP_core = 2500 WP_cu,fl = 3750 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Индуктивная нагрузка потребляет 13 A и 2808 W от однофазной сети 240 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите R.

V = 240 VI = 13 AP = 2808 W

R = Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазный трансформатор 150 kVA питает нагрузку 46 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

S_max = 150 kVAP₁ = 46 kWpf₁ = 0,7

ΔP = kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

φ = °

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 10 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 10 V (rms)R = 15 ΩL = 5 mHC = 4,7 µF

V_L = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,6 N·m/A, R_a = 0,25 Ω) работает от 110 V и приводит нагрузку с моментом 15 N·m. Найдите его скорость n в rpm.

V = 110 Vk = 0,6 N·m/AR_a = 0,25 ΩT = 15 N·m

n = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока (k = 1,2 V·s/rad, R_a = 1 Ω) при фиксированном питании 220 V приводит нагрузку 12 N·m. Найдите последовательное сопротивление R_s, замедляющее его до 800 rpm.

V = 220 Vk = 1,2 V·s/radR_a = 1 ΩT = 12 N·mn = 800 rpm

R_s = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 16,17 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 11/0,93 = 11,83 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 11828/(√3·480·0,88) = 16,17 A

Ответ

I_L = 16,17 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 392,6 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,78) = 50·0,8023 = 40,11 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,95) = 50·0,3287 = 16,43 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 23,68 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 7893/(377·230,9²) = 392,6 µF

Ответ

C_ph = 392,6 µF

3.Трансформаторы

Ответ: a = 10

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·16 = 1600

a = √(1600/16) = √100 = 10

Ответ

a = 10

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 408,2 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·3750 = 2500 → x = √(2500/3750) = 0,8165

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,8165·500 = 408,2 kVA

Ответ

S_η,max = 408,2 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: R = 16,62 Ω

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Сопротивление по активной мощности

R = P/I² = 2808/13² = 16,62 Ω

Ответ

R = 16,62 Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 96,47 kW

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q₁ = 46·tan(arccos 0,7) = 46,93 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = S_max, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(150² − 46,93²) = 142,5 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 142,5 − 46 = 96,47 kW

Ответ

ΔP = 96,47 kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −85,18 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·2,2·10⁻⁶) = 1206 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−1187)²) = 1191 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−1187/100) = −85,18°

Ответ

φ = −85,18°

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 21,74 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·4,7·10⁻⁶) = 6523 rad/s

I = V/R = 10/15 = 0,6667 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 6523·0,005 = 32,62 Ω

V_L = I·X_L = 0,6667·32,62 = 21,74 V

Ответ

V_L = 21,74 V

Это в Q = 2,174 раз больше напряжения источника.

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 1651 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток якоря

I_a = T/k = 15/0,6 = 25 A

Противо-ЭДС и скорость

E = 110 − 25·0,25 = 103,8 V

ω = E/k = 172,9 rad/s → n = 1651 rpm

Ответ

n = 1651 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_s = 10,95 Ω

Ток и противо-ЭДС

I_a = 12/1,2 = 10 A

E = 1,2·83,78 = 100,5 V

Последовательное сопротивление

R_a + R_s = (220 − 100,5)/10 = 11,95 Ω

R_s = 10,95 Ω

Ответ

R_s = 10,95 Ω

Резистор рассеивает 1095 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems