Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 11 kW. При этой нагрузке его КПД равен 93%, а коэффициент мощности 0,88 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 11 kWη = 93%cos φ = 0,88V_L = 400 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 250 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 10:1 приложено 2400 V. К вторичной обмотке подключён резистор 60 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 2400 VR_L = 60 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 125 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,95 (отстающий) его КПД равен 99%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 25 kVAP_core = 125 Wpf = 0,95η = 99%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 24 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) и нагрузка 26 kW при коэффициенте мощности 0,85 (ёмкостном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 240 VP₁ = 24 kW, pf₁ = 0,75 отстающийP₂ = 26 kW, pf₂ = 0,85 опережающий

cos φ =

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 15 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 400 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,92. Найдите необходимую ёмкость C.

P = 15 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V = 400 Vf = 50 Hz

C = µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 10 µF

cos φ =

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 24 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 24 V (rms)R = 15 ΩL = 5 mHC = 0,22 µF

V_L = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,6 V·s/rad, R_a = 0,5 Ω) работает от 120 V. При полной нагрузке он потребляет 25 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 120 Vk = 0,6 V·s/radR_a = 0,5 ΩI_FL = 25 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока на 240 V имеет сопротивление якоря 0,4 Ω. Найдите последовательное пусковое сопротивление R_st, ограничивающее пусковой ток до 60 A.

V = 240 VR_a = 0,4 ΩI_max = 60 A

R_st = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 19,4 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 11/0,93 = 11,83 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 11828/(√3·400·0,88) = 19,4 A

Ответ

I_L = 19,4 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 2052 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,7) = 250·1,02 = 255,1 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,92) = 250·0,426 = 106,5 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 148,6 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 49517/(314,2·277,1²) = 2052 µF

Ответ

C_ph = 2052 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 0,4 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 2400/10 = 240 V

I₂ = 240/60 = 4 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 0,4 A

Ответ

I₁ = 0,4 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 6000 Ω, и 2400/6000 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 114,9 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 25·0,95 = 23,75 kW

P_in = 23750/0,99 = 23990 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 23990 − 23750 = 239,9 W

P_cu,fl = 239,9 − 125 = 114,9 W

Ответ

P_cu,fl = 114,9 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,9949

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 24·tan(arccos 0,75) = 21,17 kvar

Q₂ = −26·tan(arccos 0,85) = −16,11 kvar

Суммы

P = 24 + 26 = 50 kW

Q = 21,17 + (−16,11) = 5,053 kvar

S = √(50² + 5,053²) = 50,25 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 50/50,25 = 0,9949 отстающий

Ответ

cos φ = 0,9949

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 96,69 µF

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(36,87°) = 11,25 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(23,07°) = 6,39 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 4,86 kvar

Ёмкость

Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 4860/(2π·50·400²) = 96,69 µF

Ответ

C = 96,69 µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,1582

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 6,283 Ω, X_C = 318,3 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(50² + (−312)²) = 316 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 50/316 = 0,1582

Цепь ёмкостная, поэтому коэффициент мощности опережающий.

Ответ

cos φ = 0,1582

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 241,2 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,22·10⁻⁶) = 30151 rad/s

I = V/R = 24/15 = 1,6 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 30151·0,005 = 150,8 Ω

V_L = I·X_L = 1,6·150,8 = 241,2 V

Ответ

V_L = 241,2 V

Это в Q = 10,05 раз больше напряжения источника.

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 11,63 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·120/(2π·0,6) = 1910 rpm

n_FL = 60·(120 − 25·0,5)/(2π·0,6) = 1711 rpm

Регулирование скорости

SR = (1910 − 1711)/1711·100 = 11,63 %

Ответ

SR = 11,63 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_st = 3,6 Ω

Полное сопротивление

R_a + R_st = 240/60 = 4 Ω

Пусковой резистор

R_st = 4 − 0,4 = 3,6 Ω

Ответ

R_st = 3,6 Ω

Резистор выводят ступенями по мере разгона двигателя и роста противо-ЭДС.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems