Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 18,5 kW. При этой нагрузке его КПД равен 94%, а коэффициент мощности 0,88 (отстающий). Линейное напряжение сети 415 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 18,5 kWη = 94%cos φ = 0,88V_L = 415 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 120 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 120 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V_L = 690 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

Усилитель с выходным сопротивлением 32 Ω питает громкоговоритель 2 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 32 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

R_s = 32 ΩR_L = 2 Ω

a =

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 50 kVA имеет потери в стали 150 W и потери в меди 225 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 50% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,95 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 50 kVAP_core = 150 WP_cu,fl = 225 Wx = 0,5pf = 0,95

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Нагрузка с полным сопротивлением Z = 6 + j8 Ω подключена к однофазной сети 120 V (действующее значение). Найдите полную мощность S.

V = 120 VZ = 6 + j8 Ω

S = VA

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 30 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 240 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,98. Найдите реактивную мощность Q_C, которую должен поставлять конденсатор.

P = 30 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,98V = 240 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

cos φ =

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 10 Ω, L = 100 mH и C = 10 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 10 ΩL = 100 mHC = 10 µF

B = Hz

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 0,6 N·m/A и R_a = 0,4 Ω подключён к 240 V. Найдите его момент при заторможенном роторе T_stall, то есть момент при нулевой скорости.

V = 240 Vk = 0,6 N·m/AR_a = 0,4 Ω

T_stall = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока на 24 V имеет сопротивление якоря 0,25 Ω. Найдите последовательное пусковое сопротивление R_st, ограничивающее пусковой ток до 25 A.

V = 24 VR_a = 0,25 ΩI_max = 25 A

R_st = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 31,11 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 18,5/0,94 = 19,68 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 19681/(√3·415·0,88) = 31,11 A

Ответ

I_L = 31,11 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 82,18 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,65) = 120·1,169 = 140,3 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,9) = 120·0,4843 = 58,12 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 82,18 kvar

Ответ

Q_C = 82,18 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: a = 4

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·2 = 32

a = √(32/2) = √16 = 4

Ответ

a = 4

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 206,3 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,25·225 = 56,25 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 150 + 56,25 = 206,3 W

Ответ

P_loss = 206,3 W

КПД при этой нагрузке η = 99,14%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: S = 1440 VA

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω

I = V/|Z| = 120/10 = 12 A

Полная мощность

S = V·I = 120·12 = 1440 VA

Ответ

S = 1440 VA

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q_C = 16,41 kvar

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 30·tan(36,87°) = 22,5 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 30·tan(11,48°) = 6,092 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 16,41 kvar

Ответ

Q_C = 16,41 kvar

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,3827

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 314,2 Ω, X_C = 169,3 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(60² + (144,8)²) = 156,8 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 60/156,8 = 0,3827

Цепь индуктивная, поэтому коэффициент мощности отстающий.

Ответ

cos φ = 0,3827

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 15,92 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,1·10·10⁻⁶)) = 159,2 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,1/(10·10⁻⁶)) = 10

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 159,2/10 = 15,92 Hz

Ответ

B = 15,92 Hz

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T_stall = 360 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток при заторможенном роторе

I_a = V/R_a = 240/0,4 = 600 A

Момент при заторможенном роторе

T_stall = 0,6·600 = 360 N·m

Ответ

T_stall = 360 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_st = 0,71 Ω

Полное сопротивление

R_a + R_st = 24/25 = 0,96 Ω

Пусковой резистор

R_st = 0,96 − 0,25 = 0,71 Ω

Ответ

R_st = 0,71 Ω

Резистор выводят ступенями по мере разгона двигателя и роста противо-ЭДС.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems