Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 150 A от сети с линейным напряжением 400 V. Коэффициент мощности 0,95 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 400 VI_L = 150 Acos φ = 0,95

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 60 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 60 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 100 kVA, 7200/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_LV в обмотке низшего напряжения.

S = 100 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 75 kVA имеет потери в стали 600 W и потери в меди 900 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 75 kVAP_core = 600 WP_cu,fl = 900 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Индуктивная нагрузка потребляет 14,5 A и 2436 W от однофазной сети 240 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите X.

V = 240 VI = 14,5 AP = 2436 W

X = Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазный трансформатор 200 kVA питает нагрузку 41 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

S_max = 200 kVAP₁ = 41 kWpf₁ = 0,65

ΔP = kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 100 µF

cos φ =

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите резонансную частоту f₀ цепи.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока потребляет 25 A от источника 120 V. Сопротивление якоря равно 0,25 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 171 W. Найдите его КПД η.

V = 120 VI_a = 25 AR_a = 0,25 ΩP_rot = 171 W

η = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока (k = 1,5 V·s/rad, R_a = 0,4 Ω) при фиксированном питании 120 V приводит нагрузку 18 N·m. Найдите последовательное сопротивление R_s, замедляющее его до 600 rpm.

V = 120 Vk = 1,5 V·s/radR_a = 0,4 ΩT = 18 N·mn = 600 rpm

R_s = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 98,73 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·400·150 = 103,9 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 103,9·0,95 = 98,73 kW

Ответ

P = 98,73 kW

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 44,59 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,65) = 60·1,169 = 70,15 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 44,59 kvar

Ответ

Q_C = 44,59 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: I_LV = 416,7 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_LV = S/V = 100000/240 = 416,7 A

Ответ

I_LV = 416,7 A

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 61,24 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·900 = 600 → x = √(600/900) = 0,8165

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,8165·75 = 61,24 kVA

Ответ

S_η,max = 61,24 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: X = 11,82 Ω

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Сопротивление по активной мощности

R = P/I² = 2436/14,5² = 11,59 Ω

Реактивное сопротивление по полному

|Z| = V/I = 240/14,5 = 16,55 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(16,55² − 11,59²) = 11,82 Ω

Ответ

X = 11,82 Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 153,2 kW

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q₁ = 41·tan(arccos 0,65) = 47,93 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = S_max, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 47,93²) = 194,2 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 194,2 − 41 = 153,2 kW

Ответ

ΔP = 153,2 kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,391

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 125,7 Ω, X_C = 7,958 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(50² + (117,7)²) = 127,9 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 50/127,9 = 0,391

Цепь индуктивная, поэтому коэффициент мощности отстающий.

Ответ

cos φ = 0,391

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f₀ = 46,43 Hz

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,25·47·10⁻⁶)) = 46,43 Hz

Ответ

f₀ = 46,43 Hz

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: η = 89,09 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Мощности

P_in = 120·25 = 3000 W

P_dev = 113,8·25 = 2844 W

P_out = 2844 − 171 = 2673 W

КПД

η = 2673/3000·100 = 89,09 %

Ответ

η = 89,09 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_s = 1,746 Ω

Ток и противо-ЭДС

I_a = 18/1,5 = 12 A

E = 1,5·62,83 = 94,25 V

Последовательное сопротивление

R_a + R_s = (120 − 94,25)/12 = 2,146 Ω

R_s = 1,746 Ω

Ответ

R_s = 1,746 Ω

Резистор рассеивает 251,4 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems